La comprensión de la función de Green

Question

Tengo un problema en la comprensión de la definición de la función de Green que se produce cuando la resolución de una ecuación de Poisson $\Delta u=f$. Aquí está la definición de nuestra clase:

Deje $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ser delimitada con regulary de dominio (lo que significa que $\partial\Omega$ puede parametrizar una suficientemente suave). Una función de $G:\overline{\Omega}\times\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ se llama a la función de Green si $$\Delta_y G(x,y)=\delta(x-y),\ \ \ x\in\Omega\\ G(x,y)=0,\ \ \ x\in\partial\Omega. $$ Aquí $\delta$ denota la Dirac-delta de distribución con la pole en $0$, es decir, $\delta[\varphi]=\varphi(0)$ todos los $\varphi\in\mathcal{C}^\infty_c(\Omega)$.

No entiendo cómo interpretar la primera de estas ecuaciones: El lado izquierdo es una simple función, mientras que el lado derecho es una distribución, presumiblemente $\delta_x$. Esto no tiene sentido para mí en absoluto! Puede alguien explicar esto a mí? Muchas gracias!

Answer 1

$G$ sí es una función, sino el derivado $\Delta_y$ es tomado en el sentido de las distribuciones, por lo que el objeto resultante $\Delta_y G(x,y)$ no tiene que ser una función.

(Un simple ejemplo: la función de Heaviside $H(x)$ es una función y su derivada en el sentido ordinario es cero para todos los $x\neq 0$ e indefinida en el origen. Pero, en lugar de interpretar la derivada débilmente, y encontrar que $H$ tiene la delta de Dirac como su distributivo de derivados: $H'=\delta$.)