Actualmente estoy trabajando en ecuaciones en derivadas parciales de la física, la mayoría de las ecuaciones de Maxwell. Estoy de matemáticas el estudiante de posgrado, y esta cuestión ha sido atormentándome durante años.
En el PDE de la teoría, o más específicamente el espacio de Sobolev de la teoría, la solución a la Galerkin de tipo débil formulación de un PDE normalmente satisface cierta continuidad en las condiciones a través de cualquier interfaz en el dominio de interés. Desde un punto de vista matemático, la continuidad de las condiciones de las garantías que la debilidad derivada de la función está bien definida. Es decir, siempre que lo hagamos de integración por partes en cada subdominio y luego sumarlos, los resultados deben ser de la misma con la realización de la integración por partes en el todo el dominio.
Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell como el siguiente en el que estaba trabajando:
$\newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}}$ $\newcommand{\vH}{\vect{H}}$ $\newcommand{\vE}{\vect{E}}$ $\newcommand{\vB}{\vect{B}}$ $\newcommand{\vD}{\vect{D}}$ $\newcommand{\vJ}{\vect{J}}$ $\newcommand{\vn}{\vect{n}}$ $$ \left\{ \begin{aligned} \nabla \times \vE &=- \frac{\partial \vB}{\partial t} \quad &\text{ in } \Omega\times (0,T) \\ \nabla\times \vH &= \frac{\partial \vD}{\partial t} + \vJ \quad &\text{ in } \Omega\times (0,T) \\ \nabla \cdot \vD &= q \quad &\text{ in } \Omega\times (0,T) \\ \nabla \cdot \vB &= 0 \quad &\text{ in } \Omega\times (0,T) \end{aligned} \right. $$
Si tenemos dos medios distintos, siendo etiquetados como $a$$b$, como en la siguiente imagen (descaradamente robado de el libro de la Teoría Electromagnética y la Computación: Un Enfoque Topológico):
la continuidad de las condiciones de los campos eléctrico y magnético/de los flujos son dadas como:
$$ \begin{aligned} \vn \times (\vE^a - \vE^b) &= 0 \\ \vn \cdot (\vB^a - \vB^b) &= 0 \\ \vn \times(\vH^a - \vH^b) &= \vJ_S \\ \vn \cdot (\vD^a - \vD^b) &= q_S \end{aligned} $$
donde los superíndices indican el valor de limitación de los campos vectoriales en la interfaz que se acercó a partir de cada lado, y $\vJ_S$ $q_S$ son las corrientes de superficie y la superficie de carga, respectivamente.
Aquí $\vE$ $\vB$ son continuas en el tangencial y la dirección de la normal a la superficie, respectivamente. Y estas condiciones juegan un muy importante papel en la simulación numérica de las ecuaciones de Maxwell, por ejemplo, el uso de Nédélec elementos en computación $\mathbf{curl}$-$\mathbf{curl}$ tipo de ecuación derivada de tiempo-armónico, ecuaciones de Maxwell.
(De la introducción termina aquí.)
¿Cómo podemos interpretar el significado físico de estas tangencial/normal continuidad de condiciones en la vida real (de forma análoga a la interpretación del teorema de Stokes como la conservación de una cierta cantidad)? Son los verdaderos campos eléctricos continua en la dirección tangencial de una superficie? O son estos continuidad condiciones regido por ciertas leyes de la física?
Desde mi entender, la mayoría de las ecuaciones en derivadas parciales de la física se derivan de la conservación como la ley de Ampère y muchos otros, y en la forma integral de las ecuaciones de Maxwell no differentiabilities se supone, por lo tanto no hay continuidad de las condiciones de ejecución. Entonces son estos continuidad condiciones artificiales sólo porque nos gustaría conseguir algunas ecuaciones en derivadas parciales?
