No Galois cúbicos extensiones

Question

Hay una condición necesaria y suficiente para cuando un cúbicos de extensión de $\mathbb{Q}$ no es una extensión de Galois?

Answer 1

Teorema. Deje $\alpha$ ser un elemento primitivo de un cúbicos de extensión de la $\mathbb{Q}(\alpha)$$\mathbb{Q}$. A continuación, $\mathbb{Q}(\alpha)$ es de Galois sobre $\mathbb{Q}$ si y sólo si el discriminante del polinomio irreducible de $\alpha$ es un racional de la plaza.

Prueba. Deje $f(x)$ ser el monic irreductible de $\alpha$, que debe ser un cúbicos. Si $\alpha=\alpha_1$, $\alpha_2$, y $\alpha_3$ son las raíces de $f(x)$, entonces el discriminante de $f(x)$ es igual a $$\Delta = (r_1-r_2)^2(r_1-r_3)^2(r_2-r_3)^2;$$ la división de campo contiene $\sqrt{\Delta}=(r_1-r_2)(r_1-r_3)(r_2-r_3)$. Si la extensión si Galois, entonces las tres raíces se encuentran en la $\mathbb{Q}(\alpha)$, por lo tanto lo hace $\sqrt{\Delta}$. Desde $[\mathbb{Q}[\sqrt{\Delta}]\colon\mathbb{Q}]$ es $1$ o $2$, y tendría que dividir $[\mathbb{Q}(\alpha)\colon\mathbb{Q}]=3$, se deduce que el $\sqrt{\Delta}\in\mathbb{Q}$; es decir $\Delta$ es un racional cuadrado como se reivindica.

Por el contrario, supongamos que $\mathbb{Q}(\alpha)$ no es Galois. A continuación, la división de campo de la $\alpha$ $\mathbb{Q}$ tiene el grado $6$, y el cúbicos extensión que no es normal. Por lo tanto, el grupo de Galois de $f(x)$ $\mathbb{Q}$ es isomorfo a $S_3$ (no puede ser cíclico de orden $6$, porque entonces la única subextension $\mathbb{Q}(\alpha)$ grado $3$ podría ser Galois). Pero eso significa que hay un automorphism de la división de campo de $K$ que transpone $r_1$ $r_2$ y corrige $r_3$; este automorphism no soluciona $\sqrt{\Delta}=(r_1-r_2)(r_1-r_3)(r_2-r_3)$; por lo tanto, $\sqrt{\Delta}\notin\mathbb{Q}$, lo $\Delta$ es no racional de la plaza, como se reivindica. $\Box$

Answer 2

En un lugar de forma trivial, un cúbicos de extensión de la $\,\Bbb Q(\alpha)/\Bbb Q\,$ no es Galois iff no es normal si el polinomio mínimo de a $\,\alpha\,$ $\,\Bbb Q[x]\,\,,\,\,p(x)\,$ decir, sólo tiene una raíz en $\,\Bbb Q(\alpha)\,$, es decir, $\,\alpha\,$ sí, si el cuadrática $$\frac{p(x)}{x-\alpha}\in\Bbb Q(\alpha)[x]$$ es irreductible, no...