El quasigroup más pequeño que no es un grupo.

Question

Me pregunto, ¿cuál es el quasigroup más pequeño que no es un grupo? ¿Y cómo comprobarlo?

Answer 1

La mesa de Cayley:

$$ \begin{array}{c|ccc} \ast & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end {array} $$ representa un quasigroup finito de orden$3$ sobre el conjunto$\mathbb{Z}_3$ de los enteros mod$3$. La operación$\ast$ es$$a\ast b=(a-b)\text{mod}3.$ $

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Compruebe que las operaciones$$a\bullet b=(a+b)\text{mod}2$ $ y$$a\circ b=(a-b)\text{mod}2$ $ sobre el conjunto$\mathbb{Z}_2$ de los enteros mod$2$ dan aumento a la misma tabla de Cayley: $$ \begin{array}{c|cc} \bullet & 0 & 1 &\\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end { array} $$

Answer 2

Algunos autores permiten que el conjunto vacío dotado con el binario vacío relación a ser un quasigroup, mientras que un grupo debe contener un elemento de identidad. Esto no es ni satisfactorio ni iluminación, así que vamos a no permitir este.

Recordemos que quasigroup estructuras de $\ast$ sobre un conjunto finito $\{a_1, \ldots a_n\}$ puede ser identificado con $n \times n$ latina plazas llenas de los símbolos $a_k$, simplemente por tomar la latina, plaza de la tabla de multiplicación. Para la orden de $1$ sólo hay una tabla de multiplicación, y de esta forma se define la estructura de grupo en el trivial grupo.

Para la orden de $2$ sólo hay dos cuadrados latinos, es decir, $$ \begin{array}{c|cc} \ast & a & b \\ \hline a & a & b \\ b & b & a \\ \end{array} \qquad \text{y} \qquad \begin{array}{c|cc} \star & a & b \\ \hline a & b & a \\ b & a & b \\ \end{array} $$ La comprobación se muestra directamente que la transposición $(ab)$ es un isomorfismo $(\{a, b\}, \ast) \to (\{a, b\}, \star)$, así que de nuevo hasta el isomorfismo no hay una única quasigroup de orden $2$, y este debe ser el grupo de la orden de $2$.

Sin embargo, para la orden de $3$, $12$ latina plazas que llevan a cinco tipos de isomorfismo de quasigroups, y sólo uno de estos es una estructura de grupo (y, de hecho, solo que esta tiene un elemento de identidad), así como MattAllegro escribe en los comentarios, uno realmente debe estar preguntando acerca de los más pequeños quasigroups que no son grupos. (El número de quasigroup tipos de isomorfismo es el contenido de la OEIS A057991.)

La tabla de multiplicación para el grupo, $(\mathbb{Z}_3, +)$, es $$ \begin{array}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array} . $$ Los representantes de cada uno de los cuatro restantes quasigroup tipos de isomorfismo de orden tres (que es, precisamente, el más pequeño quasigroups que no son los grupos, hasta el isomorfismo) se especifica mediante las siguientes tablas de multiplicar: $$ \begin{array}{c|ccc} - & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|ccc} \ominus & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|ccc} \ast_1 & a & b & c \\ \hline a & a & c & b \\ b & c & b & a \\ c & b & a & c \end{array} \qquad \begin{array}{c|ccc} \ast_2 & a & b & c \\ \hline a & b & a & c \\ b & a & c & b \\ c & c & b & a \end{array}. $$

Here, $-$ denotes subtraction modulo $3$, and $\ominus$ denotes subtraction modulo $3$ with the arguments in the reverse order, namely, $x \ominus y := y - x$.

Note that $\ast_1$ is determined among all quasigroups on $3$ elements by idempotency (that is, by the property that $x^2 = x$ for all $x$), and $\ast_2$ es determinado (hasta el isomorfismo) por la conmutatividad y la ausencia de un elemento idempotente.

Uno puede, por cierto, a enumerar estos tipos de isomorfismo y producir explícita tablas de multiplicar en madera de Arce con el comando

Magma:-Enumerate(3, 'quasigroup', 'output' = 'list');

Answer 3

Mirando Wikipedia: pequeños cuadrados y quasigramas latinos es bastante claro que los quasigrupos de orden dos o inferior son realmente grupos, mientras que para el orden tres hay un quasigroup sin elemento de identidad.

(Por supuesto, si permite el conjunto vacío con su única opción binaria como un quasigroup, esa estructura no es un grupo.)