Derivación de Arquímedes de la fórmula del área del casquete esférico.

Question

Arquímedes derivar una fórmula para el área de un casquete esférico.

así Arquímedes dice que la curva de la superficie del área de un casquete esférico es igual al área de un círculo con un radio igual a la distancia entre el vértice de la curva de la superficie y la base del casquete esférico. $$A = \pi(h^2+a^2)$$
Quiero saber cómo Arquímedes derivados de esta fórmula. He buscado en la red y sólo se encuentran soluciones mediante el uso de la integración. Hay un método para hacer esto sin el uso de la integración?

Answer 1

Encierre la esfera dentro de un cilindro de radio$r$ y altura$2r$ simplemente tocando en un gran círculo. La proyección de la esfera sobre el cilindro conserva la zona.

Esa es la forma en que Arquímedes deriva que el área de la esfera es la misma que el área de la superficie lateral del cilindro que es$= (2 \pi r) (2r)=4\pi r^2$. La proyección de la tapa en el cilindro tiene un área$(2 \pi r)h$. Y como$a^2=r^2-(r-h)^2=2rh-h^2 \Rightarrow 2rh=h^2+a^2$, el área del límite es$\pi (2rh) = \pi (h^2+a^2).$

Edición: gramática corregida

Answer 2

En el códice de Arquímedes, o el Palimpset, explican con gran detalle cómo llegó a esto. Utilizó un segmento parabólico, el área interceptada entre una parábola y una línea recta que la atraviesa. Veo la fórmula publicada pero pensé que estaba buscando la historia o el pensamiento detrás de ella.