Intenté demostrar que$f$$\;$ no está limitado, de lo contrario, el límite debe ser$0$. Luego traté de demostrar que$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$\;$, para encontrar una manera de imponer el segundo teorema de Weierstrass pero no lo hice.
Respuesta
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Desde $$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=1, $$ tenemos $$ \lim_{x\to \infty}f(x)=\infty, $$ y por lo tanto existe cierta $a>0$ tal que $$ f(x)\ge 1 \quad \forall x\ge una. $$ Gracias a la continuidad de $f$ hay algo de $b \in [0,a]$ tal que $$ f(b)=\min_{[0,a]}f, $$ y por lo tanto $$ f(x) \ge \min\{1,f(b)\} \quad \forall x \in [0,\infty), $$ es decir, $f$ está delimitado a continuación. Deje $(x_k)_k \subset [0,\infty)$ ser reducir a un mínimo la secuencia, es decir, $$ \lim_{k\to \infty}f(x_k)=m:=\inf f \ge \min\{1,f(b)\}. $$ Si $$ \lim_{k \to \infty}x_k = \infty, $$ entonces $$ m=\lim_{k\to \infty}f(x_k)=\infty, $$ es decir, $f(x)=\infty$ todos los $x\in [0,\infty)$. Esto no puede ser. Por lo tanto,$\lim_{k\to \infty}x_k \ne \infty$, y la secuencia de $(x_k)_k$ está acotada. Denotar por $(c_k)_k$ convergente larga de $(x_k)_k$, y deje $c=\lim_{k\to \infty}c_k$. Se sigue de la continuidad de $f$ que $$ f(c)=\lim_{k\to \infty}f(c_k)=m=\inf f, $$ es decir,$\inf f=\min f$.
