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Question

Yo si:

\begin{align} & \int \csc^2(x) \,dx \\ = {} &\int \left(\frac 1 {\sin(x)}\right)^2 \, dx\\ = {} & \int (\sin(x)^{-1})^2 \, dx\\ = {} & \int \sin(x)^{-2} \, dx\\ = {} & \frac{\sin(x)^{-1}}{-1} \cdot \int \sin(x) \\ = {} & -\frac{1}{\sin(x)}\cdot -\cos(x) \\ = {} & \cot(x) \end{align}

Pero la respuesta correcta es$-\cot(x)$. ¿Dónde salió mal?

Answer 1

Observa eso

PS

PS

Answer 2

Yo estaba perplejo por este paso: $$ \int \sin(x)^{-2} \, dx = \frac{\sin(x)^{-1}}{-1} \cdot \int \sin(x) \,dx \text{ ?} $$ Entonces me di cuenta de que estaba tratando de aplicar un tipo de regla de la cadena.

Si tienes algo como $\displaystyle \int (5x+3)^{12} \,dx$ se puede decir que es igual a $\dfrac{(5x+3)^{13}}{13}\cdot \dfrac 1 5$ y eso es una aplicación de la regla de la cadena para la diferenciación. O un poco más elaborada: $$ \int(5x+4)^{12} \, dx = \int u^{12} \, \left(\frac{du} 5\right) = \frac{u^{13}}{13} \cdot \frac 1 5 + \text{constante} $$ y como todos los "$u$-sustituciones" que es una aplicación de la regla de la cadena.

Pero considere esto: $$\requieren{cancel} \xcancel{\frac d {dx} \left( \frac{\sin(x)^{-1}}{-1} \cdot \int\sin(x)\, dx \right) = \sin(x)^{-2} \cdot \sin(x)} $$ El problema es que la multiplicación de dos funciones y, a continuación, diferenciando lo que usted consigue, y para eso se necesita el producto de la regla. Usted no sólo puede diferenciar los dos por separado.