¿Cómo aplicar la desigualdad de Hölder de una manera inteligente?

Question

Aquí está el problema:

Deje $f\in L^p(\mathbb R^n)\cap L^q(\mathbb R^n)$$s\in[p,q]$. Mostrar que $f\in L^s(\mathbb R^n)$

Estoy casi seguro de que este es un simple ejercicio de Hölder la desigualdad pero no puedo encontrar el derecho $a,b>1$ $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$$

para aplicar la desigualdad.

Si vas a dar una sugerencia o una solución (que espero que sea muy corto), por favor, explique su proceso de pensamiento. Supongo que es como con el $\varepsilon/\delta$-pruebas donde suceden cosas aparecen de la nada, pero sabemos que es porque algunos de los arañazos-trabajar antes.

Answer 1

Escribir $s = tp+(1-t)q$. Considerar $1/p'+1/q'=1$.

$$ \ int | f | ^ {s} = \ int | f | ^ {tp + (1-t) q} \ le \ left \ {\ int | f | ^ {tpp '} \ right \} ^ {1 / p '} \ left \ {\ int | f | ^ {(1-t) qq'} \ right \} ^ {1 / q '} $$

Ahora puede elegir $$tpp '= p, (1-t) qq' = q \ iff p '= \ frac 1t, q' = \ frac 1 {1-t}$$ porque $$\ frac 1 {p '} + \ frac 1 {q'} = t + (1-t) = 1$$

Luego $$\ int | f | ^ {s} \ le || f || _p ^ {p / p '} || f || _q ^ {q / q'} <\ infty$$

Answer 2

Sugerencia: Sigue como corolario de la siguiente declaración:

Deje que$\{f_i:i\in I\}$ sea una familia de funciones con$f_i\in L^{p_i}(\Omega)$ y$\dfrac{1}{p}=\sum \dfrac{1}{p_i}\leq1$. Luego$\prod f_i\in L^p(\Omega)$ y$$\|\prod f_i\|_{L^p(\Omega)}\leq\prod\|f_i\|_{L^{p_i}(\Omega)}

Esta es la desigualdad de interpolación (H. Brezis "Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales").