encontrar el número complejo que satisface las siguientes condiciones

Question

Encuentra todos los valores de $z \in \Bbb C$ tal que: $z + \bar{z} = 18$ y $z.\bar{z} = 84$ .

No sé cómo conseguir esos valores, ¿alguien puede ayudarme a resolver esto?

Answer 1

El único número complejo que satisface $z + z = 2z = 18$ es $z = 9$ pero $9^2 = 81$ por lo que no hay valores que satisfagan ambas condiciones.

Answer 2

Si $z = a+bi$ entonces la primera ecuación da como resultado $2a = 18$ así que $a = 9$ . La segunda ecuación da como resultado $a² + b² = 84$ con $a = 9$ da $b = \pm \sqrt{3}$ . Así que hay 2 soluciones: $9 + \sqrt{3}i$ y su conjugado $9 - \sqrt{3}i$ . ¡No se necesita álgebra pesada!

Answer 3

Pista: (Por favor, compruebe primero que ha escrito la pregunta correctamente, porque $z+z$ mira a impar)

Cualquier número complejo puede escribirse como $z=a+i b$ donde $a,b$ son números reales. Sustituye en las condiciones dadas,...., y resuelve para $a,b$ .

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Editar:

Ahora su pregunta tiene sentido. Intenta esto: $$z.\bar{z} =84$$ $$\Rightarrow z.(18-z) =84$$ $$z^2-18z+84=0$$ Esta es una ecuación cuadrática. Así que....

Answer 4

$z$ y $\bar{z}$ son raíces de la ecuación cuadrática $X^2 - 18X + 84 = 0 $ . Por la fórmula cuadrática, las raíces son

$$ X = \frac{ 18 \pm \sqrt{ 18^2 - 4 \times 84 } } { 2 } = 9 \pm \sqrt{3} i$$

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Tenga en cuenta que podría hacerlo lentamente estableciendo $ z= a+bi$ y luego resolver para los valores reales de $a$ y $b$ . Esto le da un enfoque directo e inmediato.

Answer 5

$z + \bar{z} = 18$ y $z \bar{z} = 84$

. $z + \bar{z} = 2Re(z)$

así(...)

$z + \bar{z} = 18 \rightarrow 2a = 18 \rightarrow a = 9$

. $z \bar{z} = |z|^2$

así(...)

$\left(\sqrt{9^2+b^2}\right)^2 = 84 \rightarrow 81 + b^2 = 84 \rightarrow b^2 = 3 \rightarrow b = \pm\sqrt{3}$

Entonces, las soluciones:

$9+\sqrt3i$ & $9-\sqrt3i$