Schwarzschild: prueba de que$\{r<2m\}$ es un agujero negro

Question

Vi la siguiente prueba para demostrar que $\{r<2m\}$ es un agujero negro en la métrica de Schwarzschild.

Considere la posibilidad de la métrica de Schwarzschild: $$ g=-V(r)\text d t^2 + \frac{1}{V(r)}\text d r^2 + r^2 \text d \Omega^2\;,\quad V(r)=1-\frac{2m}{r}\;. $$ Introducir el Eddington-Finkelstein coordinar $v=t+f(r)$ donde $f'=1/V$. Por lo tanto la métrica lee $$ g=-V(r)\text d v^2 + 2\text d v \text d r + r^2 \text d \Omega^2\;. $$ Ahora considere una causal de la curva de $\gamma(s)=(v(s),r(s),\theta(s),\varphi(s))$ tal que $g(\dot \gamma,\dot \gamma)\leq 0$. Entonces tenemos $$ g(\dot \gamma\dot \gamma)\leq 0 \quad \Leftrightarrow \quad -V(r)\dot v^2 + 2 \dot v \dot r \leq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \dot v (V(r)\dot v + 2 \dot r ) \leq 0\;. $$ Ahora dicen que $\dot v$ es positivo ya que el estándar de la elección de la orientación de tiempo en el exterior de la región corresponde a $\dot v > 0$. A partir de esto podemos directamente a la conclusión de $\dot r \leq 0$ $r<2m$ desde $V(r)<0$. Por lo tanto $\{r<2m\}$ es un agujero negro.

Pero no entiendo el argumento de que proporciona a $\dot v > 0$. Por definición tenemos $\dot v = \dot t + \frac{\dot r}{V(r)}$. No veo por qué esto siempre es positivo. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

La elección de $\dot{v}>0$ es equivalente a elegir una flecha del tiempo en el espacio-tiempo. Sólo a partir de GR, ahora hay una manera para determinar la flecha del tiempo y por lo tanto no es posible demostrar $\dot{v}>0$. La lógica es la siguiente: Se observa que hay dos clases de equivalencia de timelike campos vectoriales (que ustedes llaman el futuro y el pasado-dirigido). Usted tiene que asegurarse de que la división de futuro - y el pasado-dirigido timelike campos vectoriales es una coordenada invariante declaración! En su descripción física que requieren los objetos a seguir futuro dirigida timelike curvas (o null curvas para la masa de los objetos). No se pueden mostrar esto, pero es una suposición que conduce a una bien definida estructura causal (ver aquí).

Y claramente, el pasado dirigida geodesics por supuesto, puede escapar del agujero negro. Se asumió que para ser no físico.

Para el caso de tiempo-coordina $v$$t$, en el siguiente diagrama se muestra que la definición de la futura dirigida no cambia en el interior del lightcone en el cambio de coordenadas: En la lightcone, $v>0$ $t>0$ coinciden.

Answer 2

Como usted ha mencionado, $\gamma$ es una causal de la curva.

El espacio-tiempo de la estructura causal está dada por la semi-definida (pseudo-Riemann) de la métrica. Pero localmente siempre podemos elegir una de Galileo, la base en la que $g_{\mu \nu}$ es sólo el tensor de Minkowski (este es el llamado principio de equivalencia, como usted probablemente sabe).

La estructura del espacio de Minkowski surge de forma natural en el espacio de la tangente: tenemos la división del espacio de la tangente en tres zonas: el futuro de la luz de cono, cono de luz pasado y el uno fuera del cono de luz (como el espacio de intervalos).

Ahora, la pregunta es: ¿cómo se debe describir estas zonas matemáticamente de manera arbitraria (con arbitraria semi-definida $g_{\mu \nu}$)?

Esto es simple: el espacio de la tangente vectores que quedan fuera del cono de luz se definen a través de la relación

$$ g_{\mu \nu} A^{\mu} A^{\nu} < 0 $$

(o $> 0$ si elige la $- + + +$ firma). Lo que nos queda son el futuro apunta a pasado y apunta a la tangente vectores en el espacio. Cómo separar estos dos tipos? En realidad no hay una buena manera de hacer esto ya que no tienen una flecha del tiempo, sin embargo.

Así que vamos a introducir. Podemos hacer esto simplemente elegir el futuro (como $A^0 > 0$) y el pasado (en consecuencia, $A^0 < 0$). Tenga en cuenta que esta definición debe coincidir entre los diferentes espacio-puntos de tiempo.

En su pregunta, el tiempo de coordenadas es modificado un poco para dar a $v$. Nota de la estructura de la métrica que $A^v > 0$ $A_{\mu} A^{\mu} > 0$ define una de las regiones internas del cono de luz. Todo lo demás es como he descrito. Espero que esto ayudó.