Muestre que$[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^H=\widetilde{[X,Y]}$ y que$[\widetilde{X},W]$ es vertical si$W$ es vertical.

Question

Este es el problema 9 del capítulo 5 en la de Riemann Colectores: Una introducción a la Curvatura.

Supongamos $p:(\widetilde M,\widetilde g)\rightarrow (M,g)$ es una de Riemann de la inmersión.

Denotamos $\widetilde X$ para la horizontal de elevación de $X$, yo.e, la única horizontal $\widetilde X$ tal que $p_*\widetilde X_x=X_{p(x)}$.

a) Mostrar que $[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^H=\widetilde{[X,Y]}$ y que $[\widetilde{X},W]$ es vertical si $W$ es vertical.

b) Vamos a $\widetilde\nabla$ e $\nabla$ ser de riemann conexiones en $\widetilde M$ e $M$. Mostrar que

\begin{equation} (1) \ \ \ \widetilde\nabla_\widetilde x\widetilde Y=\widetilde{\nabla_X Y}+\frac{1}{2} [\widetilde X,\widetilde Y]^V \end{equation}

Para a) , creo que sería útil si $p_*[\widetilde X,\widetilde Y]=[p_*\widetilde X,p_*\widetilde Y]$ era válido. Pero hasta donde yo sé, esto es válido sólo en el caso de que $p$ es un diffeomorphism. El hecho de que tenemos que tomar la parte horizontal de $[\widetilde X,\widetilde Y]$ es confuso para mí. Cómo ver que el conmutador de dos horizontales campos no es siempre horizontal?

Para b), mi objetivo es calcular $\langle\widetilde\nabla_\widetilde X\widetilde Y,\widetilde Z\rangle$, donde $\widetilde Z$ es cualquier campo horizontal. Yo hago lo mismo para un campo vertical $W$. Tomando estos productos y el uso de ese $\widetilde g(\widetilde X, \widetilde Y)=g(p_*X,p_*Y)$, queremos mostrar que ellos son iguales a tomar el producto con la horizontal y vertical de las piezas de $(1)$.

Tomar el producto con la parte horizontal es casi lo mismo que hacer el $\langle \widetilde{\nabla_XY},\widetilde Z\rangle$, pero para ser igual necesito tener $\widetilde X\langle \widetilde Y,\widetilde Z\rangle=X\langle Y,Z\rangle$. Es esto correcto? Si es así, ¿cómo demostrar que esto es igual?

Tomar el producto con una vertical del vector de campo resultó en $\langle\widetilde\nabla_\widetilde X\widetilde Y,W\rangle = \frac{1}{2}(\langle W, [\widetilde X,\widetilde Y]^V \rangle - W\langle \widetilde X, \widetilde Y\rangle)$, pero no estoy seguro de qué hacer con este segundo término. Hice un error en alguna parte?

Answer 1

Ok, yo creo que me hice después de algunas enorme ayuda de mi amigo Hugo.

a) en Primer lugar, vamos a mostrar que $p_*[\widetilde{X},\widetilde{Y}]=[X,Y](f)$ para todos los $f\in C^\infty (M)$:

\begin{align*} p_*[\widetilde{X},\widetilde{Y}](f)& =[\widetilde{X},\widetilde{Y}](f\circ p) \\ & = \widetilde{X}(\widetilde{Y}(f\circ p))-\widetilde{Y}(\widetilde{X}(f\circ p)) \\ & = \widetilde{X}(p_*\widetilde{Y}(f))-\widetilde{Y}(p_*\widetilde{X}(f)) \\ & = \widetilde{X}(Y_{p(x)}(f))-\widetilde{Y}(X_{p(x)}(f)) \\ & = \widetilde{X}(Y(f)\circ p)-\widetilde{Y}(X(f)\circ p) \\ & = p_*(\widetilde{X})(Y(f))-p_*(\widetilde{Y})(X(f)) \\ & = XY(f)-YX(f) \\ & = [X,Y](f) \\ \end{align*}

Ahora observamos que $[\widetilde{X},\widetilde{Y}]=[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^H+[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^V$ y que $p_*[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^V=0$. Por lo tanto,

\begin{align*} p_*[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^H_{x}=[X,Y]_{p(x)} \end{align*}

la conclusión de la prueba.

Ahora para demostrar que $[\widetilde{X},W]$ es vertical si $W$ es vertical. Por hipótesis, $p_*(W)=0$ e $p_*(\widetilde{X})=X$, por lo tanto tenemos:

\begin{align*} p_*[\widetilde{X},W](f)&=[\widetilde{X},W](f\circ p) \\ & =\widetilde{X}(W(f\circ p))-W(\widetilde{X}(f\circ p)) \\ & =\widetilde{X}(p_*W(f))-W(p_*\widetilde{X}(f)) \\ & = 0 - W(X(f)\circ p) \\ & = -p_*W(X(f)) \\ & = 0 \end{align*}

concluir el ejercicio.

b) Por el Kozsul fórmula, donde $\widetilde{Z}$ es un vector horizontal: \begin{align*} \langle (\widetilde\nabla_{\widetilde{X}} \widetilde{Y})^H,\widetilde{Z}\rangle & = \frac{1}{2}(\widetilde{X}\langle \widetilde{Y},\widetilde{Z}\rangle+\widetilde{Y}\langle \widetilde{X},\widetilde{Z}\rangle-\widetilde{Z}\langle \widetilde{X},\widetilde{Y}\rangle + \\ & + \langle[\widetilde{X},\widetilde{Y}],\widetilde{Z}\rangle-\langle[\widetilde{X},\widetilde{Z}],\widetilde{Y}\rangle-\langle[\widetilde{Y},\widetilde{Z}],\widetilde{X}\rangle) \\ \end{align*}

Ahora, nos muestran que la $X\langle Y,Z\rangle =\widetilde{X}\langle \widetilde{Y},\widetilde{Z}\rangle$ (donde yo estaba teniendo problemas). Este es el caso:

\begin{align*} X\langle Y,Z\rangle&=p_*\widetilde{X}\langle Y,Z\rangle \\ & = \widetilde{X}(\langle Y,Z\rangle \circ p) \\ & = \widetilde{X}\langle \widetilde{Y},\widetilde{Z}\rangle \end{align*}

Mediante el uso de este junto con el hecho de que $\langle[\widetilde{X},\widetilde{Y}],\widetilde{Z}\rangle=\langle[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^H,\widetilde{Z}\rangle=\langle [X,Y],Z\rangle$ (como se muestra en el ejercicio anterior) y $p$ siendo una de Riemann de la inmersión. Sustituyendo en la Kozsul, tenemos

\begin{align*} \langle (\widetilde\nabla_{\widetilde X} \widetilde Y)^H, \widetilde{Z}\rangle & = \frac{1}{2}(X\langle Y, Z\rangle+Y\langle X, Z\rangle- Z\langle X,Y\rangle + \\ & + \langle[X,Y], Z\rangle-\langle[X, Z],Y\rangle-\langle[Y, Z],X\rangle) \\ & = \langle \nabla_{X} Y, Z\rangle = \langle \widetilde{\nabla_{X} Y}, \widetilde{Z}\rangle \end{align*}

donde hemos utilizado una vez más que el $p$ es una de Riemann de la inmersión. Ya que esto es válido para todos los $\widetilde(Z)$, hemos demostrado que $(\widetilde\nabla_{\widetilde X} \widetilde Y)^H=\widetilde{\nabla_{X} Y}$.

Ahora para la parte vertical. Por primera toma nota de que $\langle\widetilde\nabla_{\widetilde{X}} \widetilde{Y},W\rangle = \langle (\widetilde\nabla_{\widetilde{X}} \widetilde{Y})^V,W\rangle$, calculamos

\begin{align*} \langle (\widetilde\nabla_{\widetilde{X}} \widetilde{Y})^V, W\rangle & = \frac{1}{2}(\widetilde{X}\langle \widetilde{Y}, W\rangle+\widetilde{Y}\langle \widetilde{X}, W\rangle- W\langle \widetilde{X},\widetilde{Y}\rangle + \\ & + \langle[\widetilde{X},\widetilde{Y}], W\rangle-\langle[\widetilde{X}, W],\widetilde{Y}\rangle-\langle[\widetilde{Y}, W],\widetilde{X}\rangle) \\ \end{align*}

y con ese $W$ es vertical, $[\widetilde{X}, W]$ e $[\widetilde{Y}, W]$ son verticales (por el ejercicio anterior). Nuestra expresión de los resultados en

\begin{align*} \langle (\widetilde\nabla_{\widetilde{X}} \widetilde{Y})^V, W\rangle & = \frac{1}{2}(- W\langle \widetilde{X},\widetilde{Y}\rangle + \langle[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^V, W\rangle \\ \end{align*}

Así que ahora tenemos que mostrar mejor que $W\langle \widetilde{X},\widetilde{Y}\rangle=0$. Primera nota de que $\langle \widetilde{X},\widetilde{Y}\rangle$ es constante en la fibra. De hecho, vamos a $q_1,q_2\in \widetilde{M}_{p(x)}=p^{-1}x$, $x\in M$, luego por la de Riemann de la inmersión

\begin{align*} \langle \widetilde{X},\widetilde{Y}\rangle (q_1)=\langle X,Y\rangle (p(x)) = \langle \widetilde{X},\widetilde{Y}\rangle (q_2) \end{align*}

Como $W$ es vertical, se deduce que el $W\langle \widetilde{X},\widetilde{Y}\rangle=0$. Por lo tanto, hemos

\begin{align*} \langle (\widetilde\nabla_{\widetilde{X}} \widetilde{Y})^V, W\rangle & = \frac{1}{2}(\langle[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^V, W\rangle \\ \end{align*}

demostrando que $(\widetilde\nabla_{\widetilde{X}} \widetilde{Y})^V=\frac{1}{2}[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^V$, concluyendo el ejercicio.