Determinar el generador de un ideal de anillo de números enteros

Question

Estoy tratando de encontrar los generadores del ideal $(3)$ en el anillo de números enteros de $ \mathbb {Q}[ \sqrt {-83}]$ el anillo de números enteros es $ \mathbb {Z} \left [ \frac {1+ \sqrt {-83}}{2} \right ]$ Evalué la constante de Minkowski y es $2/ \pi \sqrt {83} \sim 5.8;$ entonces comprobé el polinomio mínimo de $x^2-x+84/2, $ que es un módulo reducible $3,$ por lo tanto el ideal $(3)$ es generado por dos elementos, ¿verdad? ¿Me he perdido algo? Quiero decir que el anillo de números enteros no es un UFD.

Answer 1

Parece que has tocado varias ideas diferentes aquí.

Generadores del ideal $(3)$ . Normalmente, cuando se habla de los generadores de $(3)$ te refieres a sus generadores como un grupo abeliano.

Defina $ \theta := \tfrac 1 2 (1 + \sqrt {-83})$ . Sabemos que el anillo de números enteros $ \mathbb Z[ \theta ]$ es generado por $\{1, \theta \}$ como un grupo abeliano, así que $(3)$ es generado por $\{3, 3 \theta \}$ como un grupo abeliano.

Pero habiendo leído el resto de su pregunta, parece que esto no es lo que busca. Lo que realmente buscas son los generadores de la grupo de clase ideal para $ \mathbb Z[ \theta ]$ ...

La constante de Minkowski. El hecho de que la constante de Minkowski es $5.8$ implica que el grupo de clase ideal es generado por ideales primarios que son factores de $(2)$ o $(3)$ .

El criterio de Dedekind. El criterio de Dedekind es una forma de factorizar $(3)$ como producto de los primos.

Como ha señalado, tenemos la factorización $$ x^2 - x + \frac {84}{2} \equiv x(x-1) \mod 3,$$

así que el criterio de Dedekind dice que $$ (3) = (3, \theta )(3, \theta - 1)$$ es la principal factorización de $(3)$ en $ \mathbb Z[ \theta ]$ .

Si $ \mathbb Z[ \theta ]$ es un UFD. Esto equivale a preguntarse si el grupo de clase ideal es trivial, es decir, si todos los ideales son principales.

¿Por qué no comprobamos si $(3, \theta )$ es el director? La respuesta debe ser "no". Tenga en cuenta que $(3, \theta )$ tiene norma $3$ . Si fuera principal, entonces existiría $x, y \in \mathbb Z$ de tal manera que $(3, \theta ) = (x + y \theta )$ . Pero entonces $$ 3 = N(3, \theta ) = N(x + y \theta ) = (x + \tfrac 1 2 y)^2 + 83( \tfrac 1 2 y)^2,$$ lo cual es imposible.

Así que $ \mathbb Z[ \theta ]$ es no un dominio ideal principal, y por lo tanto, no es un dominio de factorización único.

Answer 2

El polinomio mínimo de $\alpha=\frac{1+\sqrt{-83}}{2}$ es $f = x^2 - x + 84/4 = x^2 - x + 21$ . Módulo $3$ este factor como $$f \equiv x^2 - x = x(x-1) \pmod 3,$$ por lo que por el teorema de Kummer-Dedekind el ideal $(3)$ factores en primos en $\mathbb{Z}\bigg[\frac{1+\sqrt{-83}}{2}\bigg]$ como $(3) = (3, \alpha)(3, \alpha-1)$ .

El ideal $(3)$ es principal, generado por $3$ . Se puede demostrar que los factores primos no son principales, por ejemplo, utilizando la norma de campo:

Si $(3,\alpha) = (\beta)$ puis $N(\beta)$ divide ambos $N(3) = 3^2$ y $N(\alpha) = f(0) = 21 = 3\cdot 7$ Así que $N(\beta) = 3$ .

Si escribimos $\beta = a+b\alpha$ puis $$N(\beta)=(a+b\alpha)(a+b(1-\alpha)) = \ldots = a^2+ab + 21b^2.$$

La ecuación $a^2+ab + 21b^2 = 3$ es una elipse en el $(a,b)$ -plano sin puntos integrales, por lo que no existe tal $\beta$ .