Recientemente he encontrado algunas interesantes propiedades de la función/operación:
$x⊕y = \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = \frac{xy}{x+y}$ donde $x,y\ne0$.
y del mismo modo, su operación inversa:
$x⊖y = \frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}} = \frac{xy}{y-x} = x⊕(-y)$
Esta es una fórmula a menudo se utiliza en la física, para el cálculo de la resistencia equivalente/capacitancia en los circuitos. He oído que esto se refiere a por mi maestro como "reciprocidad", pero no han sido capaces de encontrar una mención de esta operación fuera de su directa conexión a circuitos y un aislado de vídeo de youtube.
Ya que no hay nombre común/utilizar para esta operación, estoy pidiendo ayuda en la búsqueda de las propiedades de esta función.
para indicar que las operaciones ("s-plus" y ", o-menos" -- nombre del canal de youtube de 3Blue1Brown) y probado un par de propiedades simples de la misma, incluyendo muchas similitudes, pero también diferencias, con la adición.
Por ejemplo, el ⊕ ("s-plus") de la operación es:
Asociativa (EDIT: esto sólo parece totalmente cierto si ampliamos el dominio a la proyectivos reales, y decir $\infty$ es la identidad y $a⊕0=0$ mientras $a⊕-a=\infty$)
Conmutativa
Distributiva con la multiplicación
Sin embargo, no tiene una identidad (como cero para la adición o 1 para la multiplicación), al menos entre los números reales. EDIT: la adición de $\infty$ a la de dominio y de trabajo bajo la proyectivos reales de los da $\infty$ como la identidad.
He hecho un montón de jugar con propiedades simples de ⊕ y encontrar muchas cosas interesantes sobre ella, como formas de hacer operaciones aritméticas usando, por ejemplo:
$\frac{a}{x}⊕\frac{a}{y} = \frac{a}{x+y}$
Lo que significa que a uno le "s-plus" fracciones de encontrar un común numerador en lugar de un denominador común.
También, como adición repetida es una forma de multiplicación($a+a+a+a = 4a$), que se repite "o-plussing" es una forma de división.
$a⊕a⊕a⊕a = \frac{a}{4}$
Hay una multitud de frío propiedades que salen de la definición de esta operación que he definido aquí, incluyendo uno de los mencionados 3Blue1Brown explica en este vídeo (https://www.youtube.com/watch?v=EOtduunD9hA):
$\sqrt[a] x \sqrt[b] x = \sqrt[a⊕b]{x}$
Otra cosa que me encontré fue el derivado de dos "o-plussed" funciones:
$\frac{d}{dx}(f(x)⊕g(x)) = \frac{f'(x)g(x)^2 + g'(x)f(x)^2}{(f(x)+g(x))^2}$
que se ve muy complicada, y yo creo que es. Me gustaría encontrar una manera de describir esta función, que en realidad incluye la ⊕ operación en sí misma, pero han sido incapaces de encontrar uno. Sin embargo, no es un buen paralelo que he encontrado que tiene más sentido de este derivado de la regla:
$ f⊕g = \frac{1}{\frac{1}{f}+\frac{1}{g}} = \frac{fg}{f+g} = \frac{fg}{f+g}\frac{(f+g)}{(f+g)} = \frac{fg^2+gf^2}{(f+g)^2}$
que es paralelo a la perfección con lo que he dicho antes,
$ (f⊕g)' = \frac{f'g^2+g'f^2}{(f+g)^2}$.
De nuevo, mi pregunta es si existe generalmente aceptados notación matemática discusión de esta operación, o si se utiliza o matemáticamente se discute en el exterior de un par de lugares muy específicos. Si no, podría nadie acaba de ofrecer comentarios sobre mi trabajo o probar otras propiedades interesantes de esta operación? Gracias a nadie por su ayuda!
EDIT: Gracias a las listas de distribución del comentario sobre la Media Armónica, también he encontrado que una⊕b es la solución a los "cruzados de la escalera problema"
Que pide para encontrar h, dados a y B como las alturas de "cross escaleras". FOTO: Wikipedia.
Esto me lleva a pensar que sería natural para definir una⊕0 a ser cero, ya que las líneas dadas estas alturas se cortan en una altura de 0. Esto no es una formales de "definición", patrón de continuación. También se podría definir una⊕-a, 'infinito', ya que parece resolver la asociatividad problema en algunos casos, aunque no rigurosamente trabajo...
Editar: Desde oplus está tan estrechamente relacionada con la Media Armónica, también es interesante ver cómo la definición de la oplus operación hace que la conexión entre los tres medios (aritmética, geométrica y armónica), de manera mucho más natural. Comenzando con la media aritmética,
$$A = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^n{x_i}$$
vemos que implica la adición repetida, seguida de la división, que es la inversa de la multiplicación (la operación de adición repetida de un mismo número se define). Del mismo modo, para la media geométrica,
$$G = ({\prod_{i=0}^n{x_i}})^{1/n}$$
implica la multiplicación repetida, seguida de una raíz, que es la inversa de la exponenciación (la operación de multiplicación repetida de un mismo número se define). Y por último, la media armónica se puede escribir,
(no hay ninguna manera fácil de escribir esto en una notación similar a la anterior, pero la idea es la misma)
$$H = n(x_i⊕x_2⊕x_3⊕...⊕x_n) $$
que implica repetido oplussing, seguido por la multiplicación, que es la inversa de la división de la operación que se repite oplussing del mismo número define - como se describió anteriormente). Me parece que este paralelo muy natural manera de definir la media Armónica, y cualquier medio para que la materia. De hecho, uno podría imaginar un medio definido por cualquier operación de cualquier orden (por ejemplo, una exponenciación decir, que el uso repetido de exponenciación seguido por un super-raíz, la inversa de tetration).
