Cómo demostrar que dos polinomios trigonométricos de grado $n$ combinados tienen como máximo $2n$ ¿Ceros?

Question

Ya soy consciente de esta cuestión: Demostrar que el siguiente polinomio trigonométrico tiene $2n$ ceros

Pero no es lo mismo.

Sea $P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k \cos (kx)$ y $\tilde{P}(x) = \sum_{k=0}^n a_k \cos((n - k)x)$ .

Si denotamos $Z(Q)$ el número de ceros de $Q$ (contamos sin multiplicidades, así que: $Z(X^2) = 1$ ), entonces, ¿cómo podemos demostrar que, que sobre $[0, 2\pi[$ :

\begin{equation*} Z(P) + Z(\tilde{P}) \leq 2n \end{equation*}

Sé que puedo demostrarlo: $\sum_{k=0}^n a_k \cos(kx)$ tienen como máximo $2n$ ceros, utilizando una forma exponencial imaginaria y el hecho de que $x \mapsto e^{ix}$ es una biyección de $[0, 2\pi[$ a $\mathbb{U}$ el conjunto de complejos de módulo $1$ .

Pero no sé cómo relacionar esos dos polinomios con una forma imaginaria exponencial, he intentado expandir $\cos((n - k)x)$ para crear $\sin, \cos$ expresiones, pero sin suerte.

Answer 1

La afirmación es falsa. Si tomamos $P(x)=1-\cos(x)+\cos(2x)$ tenemos $n=2$ y $\tilde{P}(x)=P(x)$ .
$Z(P)=4$ conduce a $Z(P)+Z(\tilde{P})=8\gg 4$ .