Si$f:[0,1]\to \mathbb{C} $ es continuo con$f(0)=0$ y$f(1)=2$, entonces$|f(t_0)|=1$ para algunos$t_0 \in [0,1]$

Question

Pregunta: Vamos a $T=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$ e $f:[0,1] \to \mathbb{C}$ se continua con $f(0)=0$, $f(1)=2$. Demostrar que existe al menos una $t_0$ en $[0,1]$ tal que $f(t_0)$ es de $T$.

Intento: escribimos $f(x)=u(x)+i v(x)$, $ \ i= \sqrt{-1}$.

Tanto de $u(x)$ e $v(x)$ debe ser continua en $[0,1]$. Por lo tanto, $g(x)=|f(x)|= \sqrt{(u(x))^2+(v(x))^2} $ también debe ser continua en $[0,1]$. Por otra parte, $g(x)$ es una función con valores reales.

Ahora, $g(0)=0$ e $g(1)=2$. Entonces, el Teorema del Valor Intermedio (para funciones continuas) garantiza que $g(0)< g(c) = 1<g(1)$ para algunos $c \in [0,1]$. Que es, $g(c)=|f(c)|=1 \in T$. Hemos terminado.

Es esto correcto?

Gracias!

Answer 1

Muy bien hecho.

Lo habría demostrado más o menos de la misma manera; Noté que hizo todo lo posible para demostrar que $\vert f(t) \vert$ es continuo. Simplemente habría observado que la función normal $\vert \cdot \vert: \Bbb C \to \Bbb R$ es continua, por lo que $\vert f(t) \vert$ , siendo la composición de las funciones continuas $f(t)$ y $\vert \cdot \vert$ , es continua.