Distribución de números primos módulo$4$

Question

¿Es probable que los números primos sean equivalentes a $1$ o $3$ modulo $4,$ o hay un sesgo en una dirección?

Esa es mi pregunta específica, pero me gustaría saber si existe una tendencia de manera más general, digamos para módulo incluso.

Answer 1

En general, si $\gcd(a,b) = 1$, el número de números primos que son de la forma $b$ modulo $a$ es asintótica $\dfrac{\pi(x)}{\varphi(a)}$ donde $\pi(x)$ es el número de números primos $\le x$. Como se puede ver la fórmula asintótica es independiente de $b$ , por tanto, para un determinado modulo de todos los residuos que se producen por igual en el largo plazo.

Answer 2

A pesar del sesgo de Chebychev (en la práctica se producen más primos con el residuo $3$ ), a largo plazo, la proporción es $1:1$ .