Encontrar el polinomio característico de la $T: \mathcal{M}_{n} (\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_{n} (\mathbb{R})$ dado por $T(M)=M^{\text{tr}}$

Question

Aquí hay un problema del libro de texto de Álgebra Lineal de Larry Smith:

Dejemos que $\mathcal{M}_{n} (\mathbb{R})$ sea el conjunto de matrices reales de orden $n \times n$ . Sea $T: \mathcal{M}_{n} (\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_{n} (\mathbb{R})$ sea la transformación lineal dada por $T(M)=M^{\text{tr}}$ .

• Encuentre el polinomio característico de $T$
• Encuentre los valores propios y los espacios propios correspondientes
• Es $T$ ¿diagonalizable?

He intentado desesperadamente resolver este problema y aún no he podido. Estoy atascado en la primera parte. Primero intenté forzar el problema por $n=1,2,3,4$ y conjeturé que el polinomio característico es $$\Delta (x) = (x-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} (x+1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$$

(He escrito un código que genera la matriz de $T$ proporcionado $n$ se da: https://ideone.com/Aycf3N )

Sé que debería usar la inducción para demostrar esto pero no veo cómo. Agradeceré que me den pistas. No obstante, ¿hay alguna otra forma de atacar este problema?

Answer 1

$T^2=Id$ implica que el polinomio mínimo es $X^2-1=0$ desde $T$ es diferente del $M\rightarrow -M$ y la identidad, su polinomio mínimo no puede ser $X$ o $X-1$ .

El eigespacio asociado a $1$ es el espacio de las matrices simétricas y el eigespacio asociado a $-1$ es el espacio de las matrices antisimétricas.

El polinomio característico es $(X-1){{n(n+1)}\over 2}(X+1)^{{n(n-1)}\over 2}$ ya que el espacio de las matrices simétricas tiene dimensión ${{n(n+1)}\over 2}$ y el espacio de las matrices antisimétricas tiene dimensión ${{n(n-1)}\over 2}$ y se puede calcular el polinomio característico de $T$ descomponiendo $M(n,\mathbb{R})=Sym(n,\mathbb{R})\oplus Antisym(n,\mathbb{R})$ .

Answer 2

$\newcommand{\tr}[0]{\text{tr}}$La respuesta por Tsemo Aristide es claro como el cristal. Permítanme añadir un par de comentarios. Suponga $n > 1$.

Dado cualquier $M \in \mathcal{M}_{n} (\mathbb{R})$, escribir $$ M = \frac{1}{2} (M + M^{\tr}) + \frac{1}{2} (M - M^{\tr}). $$ Aquí el primer sumando es una matriz simétrica ($N = N^{\tr}$) y el segundo sumando es anti-simétrica ($N = -N^{\tr}$), por lo que $$ \begin{cases} T(\frac{1}{2} (M + M^{\tr})) = \frac{1}{2} (M + M^{\tr})\\ T(\frac{1}{2} (M - M^{\tr})) = - \frac{1}{2} (M - M^{\tr})\\ \end{casos} $$ Por lo tanto tenemos que $\mathcal{M}_{n} (\mathbb{R})$ es la suma directa de los espacios $\mathfrak{S}$ de matrices simétricas, en el que $T$ actúa como la matriz identidad, y el espacio de $\mathfrak{A}$ de anti-simétrica de las matrices, en la que $T$ ley actúa como menos el de la identidad. Por lo tanto el polinomio mínimo de a$T$ es $x^{2} - x$, los subespacios propios son $\mathfrak{S}$ para el autovalor $1$ e $\mathfrak{A}$ para el autovalor $-1$, e $T$ es claramente diagonalizable.

Como el polinomio característico, tenga en cuenta que $\mathfrak{S}$ tiene dimensión $$ s = \dbinom{n+1}{2}, $$ y $\mathfrak{A}$ tiene dimensión $$ a = \dbinom{n}{2}, $$ de modo que el polinomio característico es $$ (x - 1)^{s} (x + 1)^{un}. $$