$\lim_{\epsilon\to0}\frac{\cos(\epsilon-n\frac{\pi}{2})}{\epsilon^n}$

Question

Estábamos haciendo generalizada de las integrales en la clase y de esta integral salió. He intentado usando integración por partes y tiene algo de repetición. Vamos a dejar a$\epsilon \rightarrow 0$ e $x\rightarrow\infty$ $$\int_0^{\infty}\frac{-\cos t}{t}dt=\Big[\frac{-\sin t}{t}\Big]_{\epsilon}^{x}+\Big[\frac{\cos t}{t^2}\Big]_{\epsilon}^{x}+\Big[\frac{2\sin t}{t^3}\Big]_{\epsilon}^{x}+\Big[\frac{-6\cos t}{t^4}\Big]_{\epsilon}^{x}+\int_{\epsilon}^x\frac{-24\cos t}{t^5}dt$$ $$=\sum_{n=1}^{\infty}\Big[\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!\cos{(t-n\frac{\pi}{2})}}{t^n}\Big]^x_{\epsilon}$$ $$=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(n-1)!\Big(\lim_{x\to\infty}\frac{\cos(x-n\frac{\pi}{2})}{x^n}-\lim_{\epsilon\to0}\frac{\cos(\epsilon-n\frac{\pi}{2})}{\epsilon^n}\Big)$$ El primer límite es $0$ por el teorema del sándwich pero, ¿qué acerca de la segunda, no sé cómo empezar.
Por favor, comparte tu trabajo, gracias por su tiempo!

Answer 1

Sugerencia: $$\int_0^{\arccos{(0.5)}}\frac{\cos{(t)}}{t} dt\gt \int_0^{\arccos{(0.5)}}\frac{0.5}t dt\to\infty$ $

Answer 2

Sólo por curiosidad.

Antes de comenzar, usted puede notar el problema de cerca a $t=0$desde $$-\frac{\cos (t)}{t}=-\frac{1}{t}+\frac{t}{2}-\frac{t^3}{24}+O\left(t^5\right)$$ So, if you try to integrate between $0$ and $\epsilon$, se ve el problema.

Más pronto o más tarde, usted aprenderá que usted se enfrentan con el problema de el coseno integral y que $$-\int_x^\infty \frac{\cos (t)}{t}\,dt=\text{Ci}(x)$$ Close to $x=0$, su expansión de la serie es $$\text{Ci}(x)=\gamma+\log(x)+\sum_{k=1}^\infty \frac{\left(-x^2\right)^k}{2 k \,(2 k)!}$$