Proceso simple en el cálculo de Itô.

Question

Para la definición de la integral de Itô, uno de los usos simples procesos estocásticos. He encontrado dos definiciones para el simple proceso estocástico, dada una filtración $(\mathcal{F}_t)_{t\geq0}$, un intervalo de $[0,T]$ y un espacio muestral $\Omega$:

1. $u_t=\sum_{i=1}^p \phi_i 1_{(t_{i-1},t_i]}(t)$,

2. $u_t=\sum_{i=1}^p \phi_i 1_{[t_{i-1},t_i)}(t)$,

donde $0=t_0<t_1<\ldots<t_p=T$ es una partición, y $\phi_i$ es $\mathcal{F}_{t_{i-1}}$medible variable aleatoria tal que $E[\phi_i^2]<\infty$, $i=0,\ldots,p$. La primera definición se corresponde con el libro Introducción al Cálculo Estocástico Aplicado a las Finanzas, por Lamberton y Lapeyre. La segunda definición corresponde a mis apuntes de clase. En ambos casos, dado un general adaptado proceso estocástico $u$ en $L^2(\Omega\times[0,T])$, que se aproxima por simples procesos de $(u^n)_{n=1}^\infty$ en $L^2(\Omega\times[0,T])$ y la integral de Itô se define como un límite en $L^2(\Omega)$ de $\int_0^T u_t^n \,dB_t$.

Mi pregunta es, si las dos definiciones son equivalentes para definir la integral de Itô.

Answer 1

Hay una pequeña diferencia entre los dos procesos. Tenga en cuenta que el proceso de (1) es la izquierda continua con el derecho de los límites (caglad proceso), mientras que el proceso de (2) es correcta continua con la izquierda límites (cadlag proceso).

Para la integración con respecto a la continua martingales (tales como el movimiento Browniano), que uno se tome como un proceso simple, no le importa, como se mencionó en su respuesta. De hecho, Oksendal (2010) define la integral estocástica mediante la construcción de la integral de la primera para los procesos de tipo (2), mientras que Cont y Tankov (2004) o Karatzas y Shreve (1998) considera en primer lugar los procesos de tipo (1).

En una teoría más general de integración estocástica basado en semimartingales (que puede ser discontinua), uno normalmente se considera que la integración de caglad procesos. Por lo tanto, uno empieza a construir integrales con procesos simples de tipo (1). He encontrado dos justificaciones para ello en la literatura.

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(1) Como se muestra en la Protter (2004), si consideramos la integral estocástica de un cadlag proceso con respecto a semimartingale el resultado integral no puede ser una martingala incluso si el proceso con respecto a los cuales se define la integral. Por otro lado, una integrante de una caglad proceso con respecto a una martingala será una martingala.

Como un ejemplo (página 65), que toma $M_t=N_t-\lambda t$, compensado proceso de Poisson con intensidad $\lambda$, con un salto de veces que se denota por a$(T_i)_{i\geq 1}$ y un adecuado proceso de $H_t=1_{[0,T_1)}$. En ese caso, tenemos

$$ \int_0^t H_s dM_s = -\lambda(t\land T_1),$$

que no es una martingala. Pero si tenemos en cuenta $H_t=1_{(0,T_1]}$ entonces la integral anterior es igual a $$ \int_0^t H_s dM_s = N_{t\land T_1}-\lambda(t\land T_1),$$ , que es una martingala (desde un detenido martingala es una martingala).

(2) Cont y Tankov (2004) motivar la restricción a caglad funciones demostrando que si permitimos que cadlag de las funciones de las estrategias de trading, a continuación, en la presencia de saltos en el precio de una acción no habría oportunidad de arbitraje y uno sería capaz de ganar un infinito tasa de retorno (véase el Ejemplo 8.1, página 250). Esto justifica la restricción a caglad procesos cuando se considera un adecuado clase de funciones que queremos integrar.

PS. Soy auto-aprendizaje estocástico integraciones así que mis disculpas por cualquier inexactitud en mi respuesta. Y tengo curiosidad por escuchar respuestas de otros usuarios!

Answer 2

Las dos definiciones son equivalentes si se define la integral estocástica con respecto a los procesos continuos (semimartingales, para ser exactos). Sé que el libro de Lamberton y Lapeyre y que sólo definir la integral estocástica con respecto al movimiento browniano entonces está bien.

Sin embargo, si quieres ir más allá y definir la integral estocástica con respecto a càdlàg (a la derecha continua, a la izquierda del límite de los procesos, a continuación, la segunda definición no funciona. De hecho, me salto la mayoría de los detalles técnicos, pero, básicamente, la teoría de la discontinuidad caso funciona al integrar la predicción de los procesos que normalmente son de la forma $\phi_i1_{(t_{i-1},t_i]}$. Si desea $\phi_i1_{[t_{i-1},t_i)}$ a ser predecible, entonces usted necesita $\phi_i$ a $\mathcal F_{t_{i-1}-}$-medible ($\mathcal F_{t_{i-1}}\neq\mathcal F_{t_{i-1}-}$ en general).

Para concluir, creo que solo se integra con respecto a Browniano movimientos de modo que las dos definiciones son equivalentes. Pero yo prefiero la primera porque se generaliza también a la discontinuo caso, a diferencia de los otros.