¿Podemos cancelar la marca de igualdad aquí?

Question

Problema

Deje $f(x)$ satisfacer ese $f(1)=1$ e $f'(x)=\dfrac{1}{x^2+f^2(x)}$. Demostrar que $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ existe y está a menos de $1+\dfrac{\pi}{4}.$

Prueba

Desde $f'(x)=\dfrac{1}{x^2+f'(x)}>0$, $f(x)$ es estrictamente creciente. Por lo tanto, $f(x)>f(1)=1$ tiene para todos los $x>1$, e $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ es igual al infinito positivo o algún valor finito.

Observe que, $\forall x>1:$ \begin{align*} f(x)-f(1)&=\int_1^x f'(t){\rm d}t=\int_1^x \frac{1}{t^2+f^2(t)}{\rm d}t<\int_1^x\frac{1}{t^2+1}{\rm d}t=\arctan x-\frac{\pi}{4}. \end{align*} Por lo tanto $$f(x)<\arctan x-\frac{\pi}{4}+1<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+1=1+\frac{\pi}{4},$$ lo que implica que $f(x)$ está delimitado hacia arriba. Por lo tanto,$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ existe. Tome los límites de $x \to +\infty$, tenemos $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)\leq 1+\dfrac{\pi}{4}.$ ¿Se puede anular la igualdad de la marca aquí? En otras palabras, podemos obtener un $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)<1+\dfrac{\pi}{4}$?

Answer 1

La función $$g(x)=\int_1^x\frac{1}{t^2+1}{\rm d}t-\int_1^x \frac{1}{t^2+f^2(t)}{\rm d}t$ $ está aumentando estrictamente y $g(1)=0<g(2)<g(x)$ para $x>2$ por lo tanto $\lim_{x\to\infty}g(x)\geq g(2)>0$ para $$\lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}(\frac\pi4-(f(x)-1))=\lim_{x\to\infty}(\frac\pi4+1-f(x))>0$ $

Entonces $$\lim_{x\to\infty}f(x)<\frac\pi4+1$ $

Answer 2

Fix $M>1$ e de $x>M$ romper su estimación como $$ f(x)-f(M)<\arctan x- \arctan M$$ y $$ f(M)-f(1)<\arctan M-\frac\pi 4,$$ de modo que existe una constante positiva (es decir, dependiendo únicamente de la $M$, pero no en $x$) $\delta_M:=\arctan M-\frac\pi 4-f(M)+f(1)$. A continuación, para $x>M$, $$ f(x)-f(1)=f(x)-f(M)+f(M)-f(1)<\arctan x-\frac \pi 4-\delta_M$$ y así $$ \lim_{x\to\infty}f(x)\le 1+\frac\pi 4-\delta_M<1+\frac\pi 4.$$