¿Por qué lo que yo ' he escrito no definir verdad?

Question

Me topé con un conjunto de axiomas de primer orden de la lógica un poco atrás. Intrigado, decidí intentar escribir todo abajo y organizar lo que he leído. Después de hacer eso, me parecía como si uno pudiera simplemente definir la 'verdad' el uso de estos axiomas y reglas de deducción.

Si $\beta, \gamma, \delta$ son wfs, $x, y$ son variables, y $t$ es un término que, a continuación, la siguiente wfs son llamados axiomas lógicos:

1. $\beta \Rightarrow (\gamma \Rightarrow \beta)$

2. $(\beta \Rightarrow (\gamma \Rightarrow \delta)) \Rightarrow ((\beta \Rightarrow \gamma) \Rightarrow (\beta \Rightarrow \delta))$

3. $(\lnot \beta \Rightarrow \lnot \gamma) \Rightarrow ((\lnot \beta \Rightarrow \gamma) \Rightarrow \beta)$

4. $((\forall x) \beta) \Rightarrow \beta[t/x]$ si $t$ es gratuito para $x$$\beta$.

5. $(\forall x)(\beta \Rightarrow \gamma) \Rightarrow (\beta \Rightarrow (\forall x) \gamma)$ si $\beta$ no contiene libres de ocurrencias de la $x$.

6. $(\forall x)(x=x)$

7. $(\forall x)(\forall y)((x=y)\Rightarrow (\beta \Rightarrow \beta[y/x]))$

(A continuación, dar un conjunto de axiomas matemáticos, si uno tiene la intención de ellos para ser considerado como verdadero).

Podemos entonces definir una subclase de wfs que llamamos la verdad de las declaraciones. Si $\alpha, \beta$ son wfs, y $x$ es una variable, entonces:

1. Todas las lógicas de los axiomas son verdaderos, como lo son todos los axiomas matemáticos.

2. Si $\alpha$, e $\alpha \Rightarrow \beta$ son verdaderas, $\beta$ es cierto.

3. Si $\beta$ es verdadera, entonces el $(\forall x)\beta$ es cierto.

Por último, una declaración de $\phi$ es falso si y sólo si $\lnot \phi$ es cierto.

Cuando le mostré a algunos de mis filosofía de la matemática amigos, pensaron por un buen rato antes de decidir que el anterior no basta para definir la verdad dentro de un sistema formal. Cuando se pulsa en cuanto a por qué no, ellos no estaban del todo seguro, aunque algunas de las posibles lugares donde podría surgir fueron discutidos. No pudimos averiguar a qué tipo de declaración verdadera no caen bajo esta definición, sin embargo.

Mi pregunta es, por lo tanto no la de arriba fallan para definir la verdad? Si es así, ¿por qué no? Hay enmiendas que se podría hacer para solucionar el de arriba? ¿Qué tipo de enunciados verdaderos, no sería "true" en el anterior sentido? Lo que he definido anteriormente?

Además, las fuentes para leer más sobre este tema sería de gran interés para mí, y se agradece.

Answer 1

El concepto se ha definido que se suele llamar "comprobable", no "verdadero". Este es de hecho un muy central y concepto importante, pero el punto es que es diferente de la verdad.

Por ejemplo, supongamos $\psi$ ser la fórmula $(\forall x)(\forall y)(x=y)$.

A continuación, $\psi$ no es demostrable en el sistema, y $\neg\psi$ no es demostrable en el sistema (estos dos hechos pueden probarse mediante un sencillo modelo de la teoría).

Pero eso significa que de acuerdo a su definición, $\psi$ no es ni "true" o "false". Que generalmente no se considera un uso razonable de las palabras "verdadero" y "falso".

No es desconocido, aunque. La equiparación de la verdad con provability (un poco menos potente que el que está citando a) era más o menos la posición de la intuitionistic de la escuela de matemáticas, que había de alto perfil de los practicantes en el año 1900. Pero no es corriente hoy en día, para decir lo menos. La matemática contemporánea prefiere ser capaz de hablar acerca de un más bien se comportó concepto de la verdad, y la palabra "comprobable" está disponible todavía, cuando eso es lo que queremos hablar.

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La posición predominante es que la pura lógica fórmulas no son en sí mismas verdaderas o falsas, pero que de verdadero/falso, es algo que una fórmula puede ser cuando se combina con una particular interpretación de que las cosas de la cuantificadores gama más, y cómo la no-lógica de predicados y función de las cartas de trabajo, para esas cosas.

Así, cuando decimos que una determinada fórmula es "true", dicen, $(\forall x)(\forall y)(x+y=y+x)$ -- lo que realmente se quiere decir es que la fórmula es verdadera en algunos interpretación particular, como donde cuantificadores alcance sobre los números naturales, y "$+$" denota adición de números naturales (a todos los que asumimos que ya existe antes de empezar la formalización de la lógica matemática, como de hecho históricamente hizo!). Cuando tenemos que ser particularmente cuidadoso vamos a estado esta al frente y decir "la verdad en el estándar de productos naturales" en lugar de "verdadero", pero el último es un común y convencional de la taquigrafía.

Tenga en cuenta que este tipo de verdad no depende de los axiomas -- podemos trabajar en un sistema axiomático que no nos permiten demostrar $(\forall x)(\forall y)(x+y=y+x)$, o podemos elegir para trabajar con menos axiomas que no son lo suficientemente fuertes para probar esto. Pero eso no influye en lo que habitualmente llamamos verdad.

Pero no podemos simplemente asumir que tenemos suficiente axiomas que la "comprobable" fórmulas son exactamente aquellos que son "verdaderas en el estándar naturales"? Por desgracia, no -- Gödel famoso mostró con el teorema de la incompletitud de que ningún conjunto de axiomas (que es razonable en el sentido de que no hay una manera definitiva para determinar si una fórmula es un axioma o no) puede ser exactamente todas las verdades acerca de la norma de productos naturales.

Answer 2

Creo que lo que está fallando es que la definición anterior es que usted está hablando acerca de las fórmulas, los cuales están dentro de un contexto sintáctico, mientras que la "verdad" es una noción semántica (es decir, depende de el modelo de la interpretación de las fórmulas), pero se puede hablar de validez lógico que sostiene, por ejemplo, para su lógica de los axiomas, ya que se cumplen en cada modelo.

Añadido: también todos los teoremas lógicos son logicaly válido (que es precisamente lo que la Corrección Teorema de los estados)

Added2: usted puede encontrar interesantes Tarski de la definición de la verdad

Answer 3

La cuestión es esencial incompletitud. Si la teoría es incompleta, lo que significa que no están bien formados frases que no son ni probado ni refutado por los axiomas y las reglas de la teoría, podría ser una completa extensión y que en caso de una definición de la verdad.

Por ejemplo, el primer orden de teoría de grupos es indecidible (de ahí incompleta), pero no esencialmente indecidible. Uno puede definir la "verdadera" declaraciones a la ser que se mantenga por un grupo cíclico de orden $5$, y aquellos que se caracteriza por una relación de recurrencia sintáctica definición. Esta es una extensión de la teoría de grupos con un decidable definición de la verdad.

Si la teoría interpreta suficiente aritmética, tales como Peano o Robinson aritmética, entonces cualquier consistente extensión es indecidible y no se espera una definición de la verdad por Goedel y Tarski teoremas.