$I=\int_{0}^{\pi }\frac{\sin(2x)}{\sin^{4}(x)+\cos^{4}(x)}dx$

Question

$$I=\int_{0}^{\pi }\frac{\sin(2x)}{\sin^{4}(x)+\cos^{4}(x)}dx$$

Mi intento: Tomé $x=\pi-t$ . Tengo $I=-I$ así que $I=0$ . ¿Es correcto?

Answer 1

¡Buen trabajo! Voy a ofrecer otro enfoque sólo por el gusto de hacerlo. Podemos ver que $\sin^4x$ y $\cos^4 x$ son simétricas respecto a $\pi/2$ . Sin embargo, $\sin 2x$ es antisimétrica respecto a $\pi/2$ . Por lo tanto, todo el integrando es anti-simétrico alrededor de $\pi/2$ . Desde $\pi/2$ es el punto medio de la región de integración, la integral debe ser cero.