Hallar el determinante de una matriz tridiagonal

Question

$$\begin{vmatrix}x&1&0&0&\\-n&x-2&2&0&\\0&-(n-1)&x-4&3&\\&&&&\\0&&-2&x-2(n-1)&n\\0&0&&-1&x-2n\end{vmatrix}_{(n+1)×(n+1)}$$ Encuentra el valor del determinante anterior.

Este problema viene de un libro de álgebra avanzada. Quiero resolverlo con conocimientos elementales de transformación. Llevo mucho tiempo intentando resolverlo.

Answer 1

Editar. Llama a tu matriz $A$ y que $L$ sea el índice cero Matriz de Pascal definido por $$ l_{ij}=\begin{cases} \binom{n-j}{i}&\text{ when }\ 0\le i\le n-j\le n,\\ 0&\text{ otherwise}. \end{cases} $$ Se sabe que $(L^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}l_{ij}$ . Por ejemplo, cuando $n=5$ , $$ L=\pmatrix{1&0&0&0&0&0\\ 5&1&0&0&0&0\\ 10&4&1&0&0&0\\ 10&6&3&1&0&0\\ 5&4&3&2&1&0\\ 1&1&1&1&1&1}, \ L^{-1}=\pmatrix{1&0&0&0&0&0\\ -5&1&0&0&0&0\\ 10&-4&1&0&0&0\\ -10&6&-3&1&0&0\\ 5&-4&3&-2&1&0\\ -1&1&-1&1&-1&1}. $$ Se puede comprobar que $A-(x-n)I_{n+1}=L^{-1}NL$ para alguna matriz nilpotente $N$ . Más concretamente, se puede comprobar que $L(A-(x-n)I_{n+1})=NL$ donde $$ N=\pmatrix{0&1\\ &0&2\\ &&\ddots&\ddots\\ &&&\ddots&n\\ &&&&0}. $$

En otras palabras, si $V$ es el espacio vectorial de polinomios en $y$ de grados $\le n$ y $D,g,g^{-1}:V\to V$ son los operadores lineales \begin{aligned} D(p)(y)&=p'(y),\\ g(p)(y)&=(1+y)^np\left(\frac{y}{1+y}\right),\\ g^{-1}(p)(y)&=(1-y)^np\left(\frac{y}{1-y}\right), \end{aligned} entonces $A-(x-n)I_{n+1}$ es la representación matricial del mapa lineal $f=g^{-1}\circ D\circ g$ con respecto a la base ordenada $(1,y,y^2,\ldots,y^n)$ . (De forma más explícita, $f(p)(y)=n(1-y)p(y)+(1-y)^2p'(y)$ pero esta fórmula no es importante aquí). Dado que $D^n=0$ , $f^n=g^{-1}\circ D^n\circ g$ también es cero. Por lo tanto, $f$ y $A-(x-n)I_{n+1}$ son nilpotentes y a su vez $\det A=(x-n)^{n+1}$ .