Tercera ley de Kepler: las proporciones no se ajustan a los datos

Question

He estado observando las órbitas de los satélites alrededor de la Tierra, o de cualquier objeto alrededor de cualquier planeta de hecho, y estoy tratando de encontrar el radio orbital, o la longitud semilateral de un satélite dado.

La tercera ley de Kepler da la ecuación $P^2 = a^3$ donde $P$ es el período de la órbita y $a$ la distancia.

Tengo una tabla de los satélites que actualmente orbitan la tierra, así como su altitud en el cielo en su trayectoria geosincrónica. Uno en particular es el 99.9 y tiene una altitud de 705.

Resolviendo la ecuación de $a$ Me sale $a = (P^2)^{1/3}$ .

Cuando introduzco los números, no se corresponden.

Así que mis preguntas son:

1. ¿Hay normas unitarias que necesito para ambos $P$ y $a$ ? Actualmente $P$ es en minutos, $a$ en kilómetros.
2. ¿Me estoy perdiendo algo, como la constante gravitacional universal de Newton? Tengo una página que deriva la tercera ley de Kepler usando esta constante.

Answer 1

que la igualdad debe ser un signo proporcional a. En concreto, en el SI, el periodo al cuadrado tiene unidades de segundos al cuadrado, y el radio semimayor de la órbita al cubo está en metros al cubo, por lo que no pueden ser iguales.

En su lugar, comprobaría si $T^{2}/a^{3}$ es constante para diferentes satélites que orbitan el mismo objeto (como la ISS y la Luna, por ejemplo)

Answer 2

La forma general de la ley del período de Kepler es $T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3$ . A menudo, hacemos la suposición simplificadora de que $M\gg m$ para que $M+m \approx M$ .

La ley del período de Kepler sólo tiene la forma $T^2 = a^3$ (olvidando las unidades) cuando se utilizan determinadas cantidades, en este caso, $M$ siendo la masa solar, $T$ siendo un año terrestre, y $a$ siendo una unidad astronómica.

Prueba a introducir en la ecuación la masa de la Tierra (y no te molestes en la masa del satélite) y utiliza unidades de metros y segundos. Comprueba si obtienes el resultado correcto.

Answer 3

La tercera ley de Kepler afirma que $p^2 \propto a^3$ . El signo de igualdad que utilizas es incorrecto.

Answer 4

Como otros han señalado, el signo de igualdad es erróneo. Quería escribir una respuesta para decir por qué tiene que ser.

Supongamos que la ecuación $P^2=a^3$ (es decir, con la igualdad) se mantuvo. Mido el período orbital de Júpiter (11,86 años terrestres) y el semieje mayor (5,204 UA), elevo al cuadrado uno y al cubo el otro y oye: parece que funciona.

Pero entonces supongamos que, en realidad, no quiero trabajar en UA, así que en su lugar mido la distancia en km. Sigo midiendo el período en años, porque eso es bastante conveniente. De repente, el valor numérico del semieje mayor es mucho mayor porque los kilómetros son mucho más pequeños que las UA. Así que ahora se rompe la igualdad.

El resultado es que no se pueden escribir ecuaciones que equiparen un lado izquierdo medido en unidades de [Tiempo]^2 con un lado derecho medido en unidades de [Longitud]^3. O, de hecho, cualquier ecuación con diferentes unidades en ambos lados, porque si se cumple para un ejemplo, el simple hecho de cambiar la escala de longitud hará que deje de cumplirse.

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PD: Para los planetas, la 3ª ley de Kepler se cumple con igualdad si se mide en UA y años terrestres, que son cantidades de tamaño razonable. En el caso de los satélites, es posible que el radio orbital sea un número demasiado pequeño si se mide en UA. La opción infalible es utilizar la constante de proporcionalidad completa $4\pi^2 / (GM)$ O bien se puede elegir un satélite al azar y medir todos los demás parámetros del satélite en unidades de ese "año" y radio orbital.

Answer 5

El signo de igualdad es incorrecto, en general. Es más bien una relación de proporcionalidad. Aquí hay una buena mnemotecnia para recordar esa relación.

$$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\frac{-GMm}{r^3}\vec{r}$$ es la ley de gravitación de Newton.

Dividiendo por $m$ y moviendo todo a un lado, tenemos:

$$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+\frac{GM}{r^3}\vec{r}=0$$

Supongamos que el movimiento orbital es aproximadamente armónico simple. Entonces tenemos $\omega=\frac{GM}{r_{avg}^3}$ donde $\omega$ es la velocidad angular = $2\pi/T$ donde $T$ es el período orbital.

Entonces tenemos:

$$\frac{4\pi^2}{T^2}=\frac{GM}{r_{avg}^3}$$

Así que:

$$\frac{r_{avg}^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}$$

Insisto en que se trata de una mnemotecnia aproximada, aunque muy precisa. El $M$ utilizado es sólo aproximadamente correcto y se basa en la suposición de que el cuerpo orbitado es mucho más masivo que el objeto que orbita.

Es mucho más exacto decir que la media armónica de los ápices es igual a $\frac{GMm^2}{L^2}$ donde $G$ es la constante gravitacional de Newton, $M$ es la masa del cuerpo orbitado, $m$ es la masa del cuerpo en órbita y $L$ es el momento angular. De nuevo M es una aproximación.