¿Por qué estas dos soluciones no son equivalentes? Problema de la combinatoria

Question

Me dieron el siguiente hecho: hay un conjunto $S$ de $11$ gente, entre la que hay $4$ profesores e $7$ de los estudiantes,

$S=\{p_1, p_2, p_3,p_4, s_1, s_2,...,s_7\}$

Se nos solicita para formar a partir de un grupo de $5$ de la gente, y debemos tener al menos 3 profesores.

Me parece que las dos respuestas voy a exponer deben ser equivalentes, pero no lo son, y no puedo entender por qué.

Respuesta 1

El grupo de $5$ la gente debe tener al menos $3$ de los profesores. Esto significa que tres de las $5$de la gente va a ser necesariamente un subconjunto de a$S_p$, el subconjunto de $S$ que contiene sólo los profesores. Hay $\binom{4}{3}$ subconjuntos de a$S_p$, y por lo tanto he a$\binom{4}{3}$ alternativas para los tres profesores que deben estar en el grupo.

Ahora que me he asegurado de esta $3$ de los profesores están en el grupo, he a$11-3=8$ a la gente de izquierda para elegir. Los restantes dos personas del grupo pueden ser profesores o estudiantes, para que yo pueda elegir cualquiera de los $8$. Así que para los otros dos lugares que he a$\binom{8}{2}$ alternativas. En fin, he a$\binom{4}{3} \binom{8}{2} = 112$ maneras de formar un grupo de $5$ de las personas en las que definitivamente habrá, al menos, $3$ de los profesores.

Respuesta 2

Hay $4$ de los profesores y, en mi grupo de $5$ de la gente, me debe tener al menos $3$ de ellos. Así que voy a tener $3$ o $4$ de los profesores.

Si he a$3$ profesores, voy a elegir de la $4$ de los profesores, y llene el resto de los dos lugares con $2$ de $7$ de los estudiantes. Este es $\binom{4}{3} \binom{7}{2}$.

Si, por otro lado he a$4$ profesores, voy a tener $\binom{4}{4}$ alternativas para la elección de ellos, y $\binom{7}{1}$ maneras de elegir a un estudiante para el resto de último lugar.

Así, al fin hay $\binom{4}{3}\binom{7}{2}+\binom{4}{4}\binom{7}{1} = 91$ formas de hacer el grupo.

Duda

Como se puede ver, las respuestas son diferentes. Respuesta $1$ dice que no se $112$ maneras de hacer que el grupo; responder a dos dice $91$. Sin embargo, ambos razonamientos parecen bien para mí y no veo por qué deberían diferir ni donde. Tal vez alguien puede aclarar esto para mí.

Answer 1

La segunda solución es la correcta.

Su primera solución es incorrecta porque sobre cuenta los escenarios en los que un profesor se recoge en el segundo paso.

El resultado que usted escoja el primero de los tres profesores en el primer paso, seguido por el cuarto profesor en el segundo paso: $\{p_1,p_2,p_3\},\{p_4,s_1\}$ también es contado donde recogió los últimos tres profesores en el primer paso y el primer profesor en el segundo paso: $\{p_2,p_3,p_4\},\{p_1,s_1\}$. Estos resultados deben ser considerados de la misma sin embargo, dado que en ambos casos tiene el mismo cinco personas seleccionadas.

Tenga cuidado de no sobre contar las cosas con la multiplicación principio. Los objetos seleccionados en un solo paso son tratados de manera diferente que los objetos seleccionados en un paso posterior.

Answer 2

La primera respuesta es incorrecta. Se sobrestima el número de la doble contabilización, los cuatro profesores de soluciones. Esto es porque cada uno puede comenzar con tres de los cuatro en cuatro formas diferentes. Tenga en cuenta que $$\binom{4}{3}\binom{7}{2}+4\binom{4}{4}\binom{7}{1}=112.$$a Pesar de la "doble contabilización" antes mencionada, para una falacia, es también el nombre de una válida, útil técnica de uno debe ser feliz de usar.