Según el teorema de integridad de Godel / Henkin, ¿las fórmulas bien formadas tienen que ser 'oraciones' (es decir, no contienen variables libres)?

Question

He trabajado a través de Henkin de la prueba de integridad, pero ahora que miro hacia atrás sobre él, estoy un poco confundido acerca de cuál es realmente la declaración de la integridad es el teorema. Algunas de mis fuentes de estado el teorema como:

Deje $\Phi$ ser un conjunto de oraciones, y $\phi$ una frase. Si $\Phi \vDash \phi$,$\Phi \vdash \phi$.

Mientras que otros estado como:

Para cualquier conjunto de wff $\Phi$ y para cualquier wff $\phi$ si $\Phi \vDash \phi$,$\Phi \vdash \phi$.

Para hacer el bien formado-fórmulas tienen que ser frases, lo que significa que no contienen variables libres, para que el teorema de completitud para aplicar? O esto es cierto para cualquier bien formado-fórmulas?

Las fuentes que no incluyen el no hay variables libres requisito no mencionan cosas como "el tratamiento de todas las variables libres que aparecen en el wff como nombres para los elementos particulares en una estructura", o "la inserción de la correspondiente cuantificadores universal al principio de la fórmula si hay variables libres", que me imagino que es, probablemente, de algún modo relacionada con ellos para poder aplicar el teorema de completitud para todos wffs, pero que no proporcionan ninguna información adicional, por lo que yo no entiendo realmente lo que estas acciones significan, ¿por qué las hacemos, o los efectos que se supone que tiene.

No puedo encontrar ninguna declaración simple del teorema de completitud en línea que es en como real la notación matemática para comparar. Todos ellos sólo vagamente explicar en palabras lo que el teorema implica. Así que estoy teniendo problemas para decidir cuál de mis fuentes de confianza.

Answer 1

La cuestión es, simplemente, ser coherente con la definición de consecuencia lógica.

En :

• Herbert Enderton, Matemáticas, Introducción a la Lógica, Academic Press (2ª ed, 2001), página 88, la relación de consecuencia lógica se define por las fórmulas:

Definición. Deje $\Gamma$ ser un conjunto de wffs, $\varphi$ un wff. A continuación, $\Gamma$ implica lógicamente $\varphi$, escrito $\Gamma \vDash \varphi$, iff para cada estructura $\mathfrak A$ para el lenguaje y cada función de $s : \text {Var} \to |\mathfrak A|$ tal que $\mathfrak A$ satisface todos los miembros de $\Gamma$ $s, \mathfrak A$ también satisface $\varphi$$s$.

En este caso, la Integridad Th (consulte la página 135 ):

Si $\Gamma \vDash \varphi$,$\Gamma \vdash \varphi$,

se expresa por fórmulas.

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Si, por el contrario, como en:

• Dirk van Dalen, la Lógica y la Estructura, Springer (5ª ed, 2013), página 67, la relación de la lógica cosequence se define por frases:

3.4.4 definición

(i) $\mathfrak A \vDash \varphi$ fib $\mathfrak A \vDash \text {Cl}(\varphi)$, ( donde: vamos a $\text {FV}(\varphi) = \{ z_1,\ldots, z_k \}$, $\text {Cl}(\varphi) := ∀z_1 \ldots z_k \varphi$ es el universal el cierre de $\varphi$ )

[...]

(iv) $\Gamma \vDash \varphi$ fib ($\mathfrak A \vDash \Gamma \Rightarrow \mathfrak A \vDash \varphi$), donde $\Gamma \cup \{ \varphi \}$ se compone de las penas,

a continuación, la Integridad Th (ver página 97 ) tiene por frases:

Teorema 4.1.3 (Teorema De Completitud) $\Gamma \vdash \varphi ⇔ \Gamma \vDash \varphi$.

Su cita sobre "la inserción de la correspondiente cuantificadores universal al principio de la fórmula si hay variables libres", coincide con van Dalen del enfoque (ver arriba).

Answer 2

Creo que las fuentes que no incluyen la no hay variables libres requisito se glosa sobre algunos puntos. Primero, una fórmula no puede ser válido o no, porque no es una completa afirmación [e.g no puedo decir "x es incluso' es verdadero o falso, sin especificar a qué x es]. Segundo, el núcleo tautologías de la que todas las fórmulas que se derivan de las mismas son las sentencias, por lo que, de hecho, sólo frases pueden ser derivadas. Así, en un sentido, es correcto decir 'wff' en lugar de 'oración', porque fórmulas que no son sentencias no puede aparecer en cualquiera de los lados de la equivalencia entre 'la deriva' y 'válido'. Este es un 'vacuously cierto tipo de situación.

Además, estas fuentes son una especie de 'trampa' para abrir identificador de fórmulas - cuando dicen que "el tratamiento de todas las variables libres como elementos particulares' o 'insertar cuantificadores universal', que son, en efecto, coaccionar a abrir fórmulas en oraciones.