Encuentra el rango de la función$f(x)=\cos^2(\cos x)+\sin^2(\sin x),x\in \mathbb{R}$

Question

Encuentra el rango de la función$f(x)=\cos^2(\cos x)+\sin^2(\sin x),x\in \mathbb{R}$.

Parece que no hay forma de encontrar su rango. Lo intenté y pensé mucho, pero no tuve suerte. Por favor, ayúdeme a encontrar el rango.

Answer 1

Consejo: encuentra el valor mínimo y máximo de esta función. Debido a que es continuo, entonces el rango será$[\min,\max]$.

Answer 2

Es fácil ver que la función es aún; por lo tanto, tiene un punto crítico en el origen. Además, $$f(x-\pi/2) = \cos^2(\cos(x-\pi/2))+\sin^2(\sin(x-\pi/2)) = \cos^2(\sin x)+\sin^2(-\cos x)$$ es también incluso. Por lo tanto, la función tiene un punto crítico en $\pi/2$. Finalmente, la derivada $$f'(x) = 2 \sin{\left (x \right )} \sin{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 2 \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$ es positivo en $0<x<\pi/2$, como el seno y el coseno son tanto entre cero y uno. De nuevo, ya que la función es par, es la disminución en el $-\pi/2<x<0$ y (como ya se ha señalado) período es $\pi$. Por lo tanto, el rango es de $f(0)\leq y \leq f(\pi/2)$.

Answer 3

$$y = \cos^2 (\cos x) + \sin ^2 (\sin x)$$ $$= \cos^2 (\cos x) + 1 - \cos ^2 (\sin x)$$ $$= 1 + \cos^2 (\cos x)- \cos ^2 (\sin x)$$ $$= 1 + \frac{1 + \cos(2cosx)}{2} - \frac{1 + \cos(2sinx)}{2}$$ $$= 1 + \frac{1}{2} [ \cos(2cosx) - \cos(2sinx)]$$

Entonces $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}[\sin x \sin(2cosx) + \cos x\sin (2 sin x) ]$$

Es fácil ver, (y yo no puedo hacer demasiado el formato aquí), que $y' = 0$ al $\sin x = 0$ o $\cos x = 0$. Desde el período de esta función es $\pi$ (a partir de los cuadrados de los senos y cosenos, se puede obtener el max y el min valores, por poner (1) $\sin x = 0$ y (2) $\cos x = 0$.

Cuando ponemos a $\sin x = 0$, obtenemos $y = 1 + \frac{1}{2}(\cos 2 - 1) = \cos^2 (1) $ y Cuando ponemos a $\cos x = 0$, obtenemos $y = 1 + \frac{1}{2}(1 - \cos 2) = 1 + \sin^2 (1) $

Tenemos $\color{blue}{freely}$ $\color{blue}{used}$ $\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$ a lo largo de esta derivación.

Por lo tanto el $\color{red}{min}$ $\color{red}{\cos^2 (1)}$ e las $\color{red}{max}$ $\color{red}{1 + \sin^2 (1)} $

Answer 4

Darse cuenta de $ f(x)\geq 0, \forall x\in \mathbb{R} $

Por lo tanto, todos los valores negativos se vuelven positivos, por lo que el período es$π$.

El valor mínimo$@$$x= kπ, k\in\mathbb{Z} $ es$ cos^2(1)=0.2919 $

El valor máximo$@$$x= kπ \pm \frac{π}{2}, k\in\mathbb{Z} $ es$cos^2(0)+sin^2(1)=1.708$

No puede haber ningún valor más alto que el máximo aquí, debido a las propiedades de la función trigonométrica.

$\therefore f(x)\in [ 0.292, 1.708 ] $

Answer 5

Sin usar calculo

Deje$$f(x) = \sin^2(\sin x)+\cos^2(\cos x) \;$ $

Ahora$$-1\leq \cos x\leq 1\Rightarrow \cos^2(1)\leq \cos^2(\cos x)\leq 1$$ And equality on left and right hold for $ \ displaystyle x = k \ pi$ and $ \ displaystyle x = \ frac {(2n +1) \ pi} {2} $

Ahora$$-1\leq \sin x \leq 1\Rightarrow 0\leq \sin^2(\sin x)\leq \sin^2(1)$ $

Y la igualdad en izquierda y derecha se mantiene para$\displaystyle x = k\pi$ y$\displaystyle x= \frac{(2n+1)\pi}{2}$

Por lo tanto,$$\cos^2(1)\leq \cos^2(\cos x)+\sin^2(\sin x)\leq \sin^2(1)+1$$ And equality on left and right hold for $ \ displaystyle x = k \ pi$ and $ \ displaystyle x = \ frac {(2n +1) \ pi} {2} $

Así obtenemos$$\min[f(x)] = \cos^2(1)\;\; \forall x\in k\pi\;,k\in \mathbb{Z}$ $

Así obtenemos$$\displaystyle \max[f(x)] = \sin^2(1)+1 \;\; \forall x\in \frac{(2n+1)\pi}{2}\;,n\in \mathbb{Z}$ $