Unidades del cociente de un pedido.

Question

Deje $n$ ser un entero positivo y $R$ ser una orden en un imaginario cuadrática campo de número tal que $disc(R)$ es el primer a $n$. Supongamos que para cada prime $p$ división $n$, $p$ es inerte en $R$. Ahora vamos a $A = R/nR$. Quiero mostrar que la $\#A^\times = n^2\prod\limits_{p|n}(1-\frac 1 {p^2})$.

Si no me equivoco, por el teorema del resto chino tenemos $A \cong \bigoplus\limits_{p|n} A/p^{v_p(n)}A$. Así que lo que quiero mostrar es que el $\# (A/p^{v_p(n)}A)^\times = p^{2v_p(n)}(1-\frac 1 {p^2})$.

Al $v_p(n) = 1$ esto es cierto porque las $p$ es inerte en $R$$A/pA \cong \mathbb{F}_{p^2}$.

Supongo que tenemos que usar el hecho de que $disc(R)$ es el primer a $n$ pero no veo cómo. De hecho, yo estaría muy interesado en saber lo que esta condición implica en general.

Answer 1

Deje $K$ ser el imaginario cuadrática campo y $S$ ser su anillo de enteros. Deje $\tau$ $d$ ser tal que $S = \Bbb Z[\tau]$$R = \Bbb Z[d\tau]$.

$R/nR = \Bbb Z[d\tau]/n\Bbb Z[d\tau] \approx (\Bbb Z/n\Bbb Z)[d\tau]$.
Desde $n$ $d$ son coprime, $d$ es invertible en a $\Bbb Z/n\Bbb Z$, y tenemos $(\Bbb Z/n\Bbb Z)[d\tau] \approx (\Bbb Z/n\Bbb Z)[\tau] \approx S/nS$.
Por lo $R/nR \approx S/nS \approx \prod S/p^{v_p(n)}S$.

Desde $p$ es inerte, es un prime en $S$, y la no invertible elementos de $(S/p^{v_p(n)}S)$ son aquellos que son un múltiplo de $p$. Su densidad es $1/p^2$, lo que demuestra que $\# A^* = \prod (1 - p^{-2})$

Para una información más explícita de cálculo, si $a+bd\tau \in (\Bbb Z/n\Bbb Z)[d\tau]$$\gcd(a,b,n) = 1$, luego $(a+bd\tau)(a+bd\bar\tau) = a^2+abd(\tau+\bar\tau)+b^2d^2\tau\bar\tau = N$ es invertible en a $\Bbb Z/n\Bbb Z$, y por lo $((a/N)+(b/N)d\bar\tau) \in (\Bbb Z/n\Bbb Z)[d\tau]$ es la inversa de a $a+bd\tau$