Sea $Q$ el conjunto de todas las posibles configuraciones del sistema (el espacio de configuración). Consideremos un punto $q_0\in Q$. Para mayor claridad conceptual, y para establecer contacto con la notación de la física, trabajemos en algún parche de coordenadas locales alrededor de $q_0.
Supongamos que $q_0$ representa la posición del sistema en consideración en el tiempo $t_0$. A un tiempo $t$ posterior dado, el sistema estará en alguna posición digamos $q(t)$ que está determinada por las ecuaciones de evolución (las ecuaciones de Euler-Lagrange si estamos hablando de mecánica lagrangiana), y la cantidad \begin{align} q(t) - q(t_0) = q(t) - q_0 \end{align> sería el desplazamiento del sistema después de un tiempo $t-t_0$. Supongamos, en cambio, que consideramos alguna otra curva $\gamma(s)$ en el espacio de configuración que comienza en el punto $s_0$; \begin{align> \gamma(s_0) = q_0 \end{align> y supongamos que calculamos el desplazamiento \begin{align> \gamma(s) - \gamma(s_0) = \gamma(s) - q_0 que resultaría de moverse a lo largo de esta otra curva que elegimos. Llamamos a este desplazamiento el desplazamiento virtual después de un "tiempo" $s-s_0$ correspondiente a moverse a lo largo de la curva $\gamma$. Se llama virtual porque es el desplazamiento en la posición del sistema que ocurriría si el sistema se moviera a lo largo de la curva $\gamma` que elegimos -- una curva "virtual" en oposición a la curva "real" a lo largo de la cual se desplaza en la evolución lagrangiana del sistema.
Nota. Como sugirió Qmechanic en los comentarios, utilicé el parámetro $s$ para la curva virtual $\gamma$ en lugar de $t` para enfatizar que moverse a lo largo de esa curva no corresponde a la evolución temporal, sino a cualquier curva que elijamos.
Ahora, ¿qué pasa con los desplazamientos "infinitesimales" virtuales? Bueno, recordemos que el término "infinitesimal" en física se refiere esencialmente siempre a aproximaciones de "primer orden", ver, por ejemplo, esta publicación de SE:
Fundamentos rigurosos de infinitesimales en física
Entonces, cuando estamos discutiendo un desplazamiento virtual infinitesimal, lo que tenemos en mente es tomar el desplzamiento virtual $\gamma(s) - q_0`, expandirlo en serie de Taylor de primer orden en $s`, y extraer solo el término de primer orden. Hagámoslo: \begin{align> \gamma(s) - q_0 = \gamma(s_0) + \dot\gamma(s_0) (s-s_0) + O((s-s_0)2) - q_0 Utilizando el hecho de que $\gamma(s_0) = q_0`, vemos que la expansión de Taylor del desplazamiento virtual es \begin{align> \gamma(s) - q_0 = \dot\gamma (s_0) (s-s_0) + O((s-s_0)2) y ahora notamos que para primer orden en $s`, el tamaño del desplazamiento virtual está controlado por el coeficiente de $s-s_0`, es decir, $\dot\gamma(s_0)`. En otras palabras, los desplazamientos infinitesimales virtuales (lo que significa que solo mantenemos la contribución de primer orden en $s-s_0`), están determinados por el vector de velocidad de la "curva virtual` elegida en $s_0`. ¡Pero si has tomado un curso de geometría diferencial, entonces sabes que las velocidades de las curvas en una variedad son simplemente vectores tangentes a esa variedad!
Así que los desplazamientos infinitesimales virtuales pueden asociarse con vectores tangentes al espacio de configuración. La intuición a tener en cuenta aquí es que un desplazamiento virtual simplemente nos indica qué tan lejos llegaríamos desde cierto punto en la variedad si viajáramos en una determinada curva que elijamos y que puede no coincidir con el movimiento real del sistema determinado por la evolución temporal. La parte "infinitesimal" y la identificación de esta parte con vectores tangentes proviene simplemente de considerar qué sucede solo a primer orden.
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Más sobre desplazamiento virtual. En cuanto a los infinitesimales, consulta physics.stackexchange.com/q/70376/2451, physics.stackexchange.com/q/92925/2451 y los enlaces incluidos.