¿Qué es exactamente un desplazamiento virtual en la mecánica clásica?

Question

Estoy leyendo la Mecánica Clásica de Goldstein y él dice lo siguiente:

_Un desplazamiento virtual (infinitesimal) de un sistema se refiere a un cambio en la configuración del sistema como resultado de cualquier cambio infinitesimal arbitrario de las coordenadas $\delta \mathbf{r}_i$, consistente con las fuerzas y restricciones impuestas en el sistema en el instante dado $t$. El desplazamiento se llama virtual para distinguirlo de un desplazamiento real del sistema que ocurre en un intervalo de tiempo $dt$, durante el cual las fuerzas y restricciones pueden estar cambiando._

Luego él discute trabajo virtual y así sucesivamente. Ahora, no puedo entender qué es realmente esta cosa de lo virtual. A través de este texto hay una diferencia entre un cambio infinitesimal y un cambio virtual y realmente no entiendo qué es realmente este virtual.

Además, esto se basa en infinitesimales. ¿Cómo se puede expresar esto rigurosamente sin hacer referencia a los infinitesimales? Intenté buscar en la Física para Matemáticos de Spivak donde considera estos desplazamientos virtuales como vectores tangentes a cierta variedad, pero no estoy seguro de que este sea el modo más "estándar" de hacerlo rigurosamente.

Answer 1

Sea $Q$ el conjunto de todas las posibles configuraciones del sistema (el espacio de configuración). Consideremos un punto $q_0\in Q$. Para mayor claridad conceptual, y para establecer contacto con la notación de la física, trabajemos en algún parche de coordenadas locales alrededor de $q_0.

Supongamos que $q_0$ representa la posición del sistema en consideración en el tiempo $t_0$. A un tiempo $t$ posterior dado, el sistema estará en alguna posición digamos $q(t)$ que está determinada por las ecuaciones de evolución (las ecuaciones de Euler-Lagrange si estamos hablando de mecánica lagrangiana), y la cantidad \begin{align} q(t) - q(t_0) = q(t) - q_0 \end{align> sería el desplazamiento del sistema después de un tiempo $t-t_0$. Supongamos, en cambio, que consideramos alguna otra curva $\gamma(s)$ en el espacio de configuración que comienza en el punto $s_0$; \begin{align> \gamma(s_0) = q_0 \end{align> y supongamos que calculamos el desplazamiento \begin{align> \gamma(s) - \gamma(s_0) = \gamma(s) - q_0 que resultaría de moverse a lo largo de esta otra curva que elegimos. Llamamos a este desplazamiento el desplazamiento virtual después de un "tiempo" $s-s_0$ correspondiente a moverse a lo largo de la curva $\gamma$. Se llama virtual porque es el desplazamiento en la posición del sistema que ocurriría si el sistema se moviera a lo largo de la curva $\gamma` que elegimos -- una curva "virtual" en oposición a la curva "real" a lo largo de la cual se desplaza en la evolución lagrangiana del sistema.

Nota. Como sugirió Qmechanic en los comentarios, utilicé el parámetro $s$ para la curva virtual $\gamma$ en lugar de $t` para enfatizar que moverse a lo largo de esa curva no corresponde a la evolución temporal, sino a cualquier curva que elijamos.

Ahora, ¿qué pasa con los desplazamientos "infinitesimales" virtuales? Bueno, recordemos que el término "infinitesimal" en física se refiere esencialmente siempre a aproximaciones de "primer orden", ver, por ejemplo, esta publicación de SE:

Fundamentos rigurosos de infinitesimales en física

Entonces, cuando estamos discutiendo un desplazamiento virtual infinitesimal, lo que tenemos en mente es tomar el desplzamiento virtual $\gamma(s) - q_0`, expandirlo en serie de Taylor de primer orden en$s`, y extraer solo el término de primer orden. Hagámoslo: \begin{align> \gamma(s) - q_0 = \gamma(s_0) + \dot\gamma(s_0) (s-s_0) + O((s-s_0)2) - q_0 Utilizando el hecho de que $\gamma(s_0) = q_0`, vemos que la expansión de Taylor del desplazamiento virtual es \begin{align> \gamma(s) - q_0 = \dot\gamma (s_0) (s-s_0) + O((s-s_0)2) y ahora notamos que para primer orden en $s`, el tamaño del desplazamiento virtual está controlado por el coeficiente de$s-s_0`, es decir, $\dot\gamma(s_0)`. En otras palabras, los desplazamientos infinitesimales virtuales (lo que significa que solo mantenemos la contribución de primer orden en$s-s_0`), están determinados por el vector de velocidad de la "curva virtual` elegida en $s_0`. ¡Pero si has tomado un curso de geometría diferencial, entonces sabes que las velocidades de las curvas en una variedad son simplemente vectores tangentes a esa variedad!

Así que los desplazamientos infinitesimales virtuales pueden asociarse con vectores tangentes al espacio de configuración. La intuición a tener en cuenta aquí es que un desplazamiento virtual simplemente nos indica qué tan lejos llegaríamos desde cierto punto en la variedad si viajáramos en una determinada curva que elijamos y que puede no coincidir con el movimiento real del sistema determinado por la evolución temporal. La parte "infinitesimal" y la identificación de esta parte con vectores tangentes proviene simplemente de considerar qué sucede solo a primer orden.

Answer 2

En pocas palabras: un desplazamiento virtual es "pretender que te estás moviendo, pero realmente no te mueves". En otras palabras, te mueves una cantidad tan pequeña que no cambias el estado del sistema, pero te da una idea (a través del trabajo realizado, etc.) de lo que sucedería si te movieras.

En otras palabras, si el sistema realmente se está moviendo, puedes mirar un intervalo $dt$ para ver cuánto se movió en ese tiempo. Eso es un movimiento "infinitesimal". Con el movimiento virtual, pretendes haberte movido por $dx$ - pero no porque el sistema esté en movimiento, sino solo imaginando que hiciste el movimiento más pequeño (en tiempo finito - por lo que no hay velocidad, $\frac{dx}{dt}=0$)

Answer 3

Puedes investigar esto. Tiene trabajos detallados sobre la comprensión de lo que es el desplazamiento virtual. https://www.researchgate.net/publication/2174249_On_Virtual_Displacement_and_Virtual_Work_in_Lagrangian_Dynamics

Answer 4

Según entiendo, debe ser un desplazamiento en coordenadas generalizadas. Si son coordenadas espaciales ortogonales, no son virtuales.