Delta de Dirac en coordenadas polares

Question

Dado

$$x=r\,\cos\theta\\y=r\,\sin\theta$$ y $$x'=r'\,\cos\theta'\\y'=r'\,\sin\theta'$$

cómo puedo expresar

$$\delta(x'-x)\delta(y'-y)$$ en términos de coordenadas polares?

Y el caso más general:

$$\delta(x'-x-a)\delta(y'-y-b)$$

Answer 1

Si la transformación entre coordenadas ${\bf x}$ y ${\boldsymbol \xi}$ no es singular, entonces $$\delta({\bf x}-{\bf x_0}) = \frac{1}{|J|}\delta({\boldsymbol \xi}-{\boldsymbol \xi}_{0}),$$ donde $J$ es el jacobiano de la transformación. Esto es análogo a $\delta(f(x)) = \delta(x-x_0)/|f'(x_0)|$ , para $x$ cerca de un cero aislado $x_0$ de $f$ .

El jacobiano es $r$ por lo que, asumiendo $r'\ne 0$ , $$\delta(x-x')\delta(y-y') = \frac{1}{r}\delta(r-r')\delta(\theta-\theta').$$ (Tomamos $\theta'\in[0,2\pi)$ .) Obsérvese que $$\int_0^\infty r dr\int_0^{2\pi}d\theta \ \frac{1}{r}\delta(r-r')\delta(\theta-\theta') = 1$$ según sea necesario.

Si $r'=0$ debemos integrar la coordenada ignorable $\theta$ , $J\to \int_0^{2\pi}d\theta \ J = 2\pi r$ . Así, $$\delta(x)\delta(y) = \frac{1}{2\pi r}\delta(r).$$ De nuevo, observe $$\int_0^\infty r dr\int_0^{2\pi}d\theta \ \frac{1}{2\pi r}\delta(r) = 1.$$

Answer 2

Por definición, la función delta de Dirac debe satisfacer la siguiente condición.
$\int\limits_{-\infty} ^\infty \delta(\bar x - \bar x_{0}) \bar dx = 1$ . Ahora en coordenadas polares $\bar dx = rdr d\theta$ lo que hace que nuestra integral $\int\limits_{0} ^\infty \int\limits_{0} ^{2\pi} \delta(\bar x- \bar x_{0}) rdrd\theta = 1$ Para que esta integral satisfaga la definición: $\delta(\bar x-\bar x_{0}) = \frac{1}{r} \delta(r-r_{0})\delta(\theta -\theta_{0})$ . ya está arreglado