Determine el signo de una permutación, calcule el número de elementos en el subgrupo de permutaciones con signo = 1

Question

Pregunta:

(a) Determine el signo de$(\tau)$ $$\left( \begin{array}{ccccccc} 1&2&3&4&5&6&7 \\ 2&3&5&7&1&6&4 \end{array} \right )$$ .

(b) Deje $A_{n} = \{\tau \in S_{n} | \mbox{sign}(\tau) = 1\}$. Mostrar que $A_{n}$ es un sub grupo de $S_{n}$ y calcular el número de elementos (Sugerencia: Muestre que para cualquier transposición $\tau$, $S_{n}$ es distinto de la unión de $A_{n}$$A_{n}\circ\tau$).

Mi intento: (a) Así que tengo esta fórmula para firmar$(\sigma) = \displaystyle \prod_{i < j} \frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}$. Esto no sería tan difícil, sin embargo, es aparentemente ok para contar el número de elementos para los que se $i<j$ pero $\sigma(i)>\sigma(j)$ (estos son llamados inversiones, creo). Si este número es par, el signo de$(\sigma)=1$ si es impar, $-1$. En este caso la he llamado $(1,5),(2,5),(3,5),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7),(6,7) \Rightarrow \mbox{sign}(\tau) =1$

(b) Para empezar, si quiero mostrar que algo es un subgrupo, tengo que demostrar que: (i)$a,b \in U \Rightarrow a \circ b \in U$, y que (ii)$a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U$ correcto? (En realidad estoy un poco confundido en eso podemos asumir que el elemento de identidad es todavía parte de un subgrupo, por ejemplo, si el ejercicio era un poco diferente, y estaba comprobando si $A_{n} = \{\tau \in S_{n} | \mbox{sign}(\tau) = -1\}$ fue un sub grupo, yo diría que el elemento de identidad para las permutaciones $123...n$ no tiene inversiones $\Rightarrow$ $(\tau) = 1 \Rightarrow \tau \notin A_{n}$... quiero decir, subgrupos son grupos de ellos, ¿no?

Bueno, en fin, para (i), he intentado mostrar por escrito:

Deje $\tau, \sigma \in A_{n}$

$\Rightarrow$ $(\tau) = 1$ y el signo$(\sigma)=1$

Para un polinomio (honestamente no entender totalmente este o saber si tengo que poner este material con 'g' en...) $g=g(x_{1},...,x_{n})$, signo de$(\tau \circ \sigma)g= (\tau \circ \sigma)(g)=\tau(\sigma(g))=\tau((\mbox{sign}\sigma)g)=(\mbox{sign}\tau)(\mbox{sign}\sigma)g$

$\Rightarrow$ $(\tau \circ \sigma) = (1)(1) = 1 \Rightarrow (\tau \circ \sigma) \in A_{n}$

con (ii) mi intento fue:

Deje $\sigma \in A_{n}$

Si $\sigma \circ \sigma^{-1} = \epsilon$ (este debe representar el elemento de identidad)

$\Rightarrow$ $(\sigma \circ \sigma^{-1}) = \mbox{sign}\epsilon$

$(\mbox{sign}\sigma)(\mbox{sign}\sigma^{-1})=1$ (Debido a firmar$(\epsilon)=1$)

$(1)(\mbox{sign}(\sigma^{-1}))=1$ (Debido a $\sigma \in A_{n}\Rightarrow \mbox{sign}(\sigma) = 1$)

signo de$(\sigma^{-1})=1 \Rightarrow \sigma^{-1} \in A_{n}$

De (i) y (ii) se sigue la conclusión de que $A_{n}$ es un subgrupo de $S_{n}$...

Así que espero que todos estarían en la pista de la derecha tan lejos... Con el calcular el número de elementos de la parte, no sé qué hacer o por qué. Siguiendo la sugerencia me gustaría tratar de demostrar que $S_{n}$ es distinto de la unión (no es lo mismo como muestra de que la intersección es vacía, ¿verdad?) de $A_{n}$ $A_{n} \circ \tau$ (donde $\tau$ es una transposición). Yo no entiendo de esto, pero directamente del libro es la declaración de "llamamos a $\tau$ una transposición. Si $i<j$, entonces no se $2(j-i=1)+1$ inversiones en $\tau$, y, por tanto, la transposición $\tau$ es impar". En consecuencia, creo que podría utilizar el signo$(\tau \circ \sigma)=(\mbox{sign}\tau)(\mbox{sign}\sigma)$ a demostrar que el producto de una extraña e incluso permutación es impar y por lo tanto $A_{n} \circ \tau$ es impar y $A_{n}$ no tiene elementos en común con $A_n \circ \tau$. Pero incluso entonces, ¿cómo hace uno para calcular un número de elementos?

Answer 1

Su trabajo en (a) se cortó de alguna manera. Por tu comentario en (b), si usted tiene $a,b \in U \Rightarrow a \circ b \in U$$a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U$, entonces usted tiene $a \circ a^{-1} \in U$, de modo que usted no tiene que comprobar la identidad (como $U$ es no vacío). Mostrando la identidad no está en U es otra manera de demostrar que U no es un subgrupo. Tienes razón en que los subgrupos son los mismos grupos, pero creo que tendría problemas para mostrar el producto de dos permutaciones impares es impar. A decir $S_n$ es un discontinuo de la unión de $A_n$$A_{n} \circ \tau$, usted necesita la intersección vacía y que cada elemento de a $S_n$ es en uno de ellos. Para calcular el número de elementos, si cada elemento es par o impar y hay el mismo número de impares queridos, e incluso...