Por qué el Jauge de $C$ es $\inf\{r>0\mid v/r\in C\}$ y no $\sup\{r>0\mid rv\in K\}$ ?

Question

Por qué la galga $p:\mathbb R^n\to \mathbb R$ de un conjunto $C\subset \mathbb R^n$ se define como $$p(v)=\inf\{r>0\mid v/r\in C\}$$ y no como $$p(v)=\inf\{r>0\mid rv\notin C\} \quad \text{or}\quad p(v)=\sup\{r>0\mid rv\in C\}\ \ ?$$

Porque ambos explican el mismo concepto que : la primera vez que entramos en $C$ o salir de $C$ y parece más fácil de trabajar $rv$ que con $\frac{v}{r}$ . Así que me preguntaba cuál es la motivación para utilizar $\frac{v}{r}$ en lugar de $rv$ .

Answer 1

Para $p(v)=\inf\{r>0\mid rv\notin C\}$ , si $\mathbb R\setminus C$ contiene una vecindad de $0$ entonces $p(v) = 0$ para todos $v$ , lo cual no es muy instructivo.

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Para los fijos $v$ , dejemos que $P = \{r>0\mid v/r \in C\}$ y $P^* = \{r>0\mid rv\in C\}$ . Si $r>0$ tenemos

$$r \in P^* \iff rv \in C \iff \frac {v}{1/r} \in C \iff \frac 1r \in P$$

De ello se desprende que

$$\sup P^* = \frac1{\inf P},$$

donde la "igualdad $\infty = 1/0$ está implícito. Por lo tanto, con $p^*(v) = \sup\{r>0\mid rv\in C\}$ Tendríamos $p^*(v) = 1/p(v)$ .

Supongo que lo que deberías preguntarte en este punto es: ¿prefieres trabajar con infinitos, o con $0$ s?

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Si quieres una respuesta más prosaica (pero probablemente también más correcta), sólo diría que la gente ha trabajado con $p(v)$ y descubrí que tiene buenas propiedades que podrían no ser inmediatas o tan fácilmente intuitivas (al menos notablemente) cuando se trabaja con $1/p(v)$ . En particular, $p$ puede escribirse de forma equivalente como

$$p(v) = \inf \{r>0\mid v \in rC\},$$

que ahora puede recordar a Funcionales de Minkowski . Bajo ciertas condiciones $($ en $C)$ estos funcionales tienen muy buenas propiedades: son una norma para la que $C$ ¡es una pelota!