¿Los operadores cuánticos son adimensionales?

Question

Estoy un poco confundido sobre si los operadores cuánticos (hermitianos), que obtenemos al promover los observables a operadores, son adimensionales o no.

Claramente el Hamiltoniano del sistema, digamos del oscilador armónico, tiene unidades de energía. ¿El hamiltoniano del sistema mecánico cuántico correspondiente también tiene unidades de energía?

Sospecho que es así porque sólo entonces tendría sentido el procedimiento de hacer el hamiltoniano adimensional introduciendo operadores de creación y aniquilación, como se hace en: http://en.wikipedia.org/wiki/Creation_and_annihilation_operators Sin embargo, a partir de la representación de la posición de la SE. Pero la idea de que los operadores tengan dimensiones no me parece intuitiva.

Sería genial si alguien pudiera explicar esto.

Answer 1

Los operadores de subida y bajada son adimensionales. Los operadores de posición y de momento se escriben según $$ x = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}q,~\frac{\partial}{\partial x} = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\frac{\partial}{\partial q} $$ con $p = -i\hbar\partial/\partial x$ entonces escribimos los operadores de subida y bajada según estos operadores adimensionales $$ a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(q - \frac{\partial}{\partial q}\right),~a^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(q + \frac{\partial}{\partial q}\right) $$ El hamiltoniano es $H = \frac{1}{2}\hbar\omega a^\dagger a$ y se restauran las dimensiones.

Answer 2

Los operadores de creación y aniquilación no son observables. Obviamente no son herméticos porque $a \neq a^\dagger$ . Pero, con respecto a su pregunta, considere el operador numérico $( N_k = a_k a^\dagger_k )$ . Como el valor propio del operador número es un número adimensional, los operadores de creación y aniquilación deben ser también adimensionales.

El hamiltoniano completo tiene la dimensión de la energía, porque $[\hbar] = \mathrm{J s / rad}$ y $[\omega = \mathrm{rad / s}$ Así que $[\hbar \omega] = \mathrm{J}$ .

Answer 3

Dos formas que pueden ayudarte a ver que los operadores en general deben tener unidades:

1. El Hamiltoniano cuántico debe tener unidades de energía, porque $\exp\left(i\,\frac{H}{\hbar}\,t\right)$ es el operador de evolución temporal, de modo que el exponente es adimensional; dicho de otro modo: la ecuación de Schrödinger es $i\,\hbar\,\partial_t\,\psi = H\,\psi$ para que $H$ debe tener las mismas unidades que $\hbar/t$ ;

2. Los operarios de los que hablas, aparte de los de la escalera, son todos también observables sus valores propios reales representan posibles resultados reales de las mediciones y, como tales, las unidades de los valores propios deben coincidir con las de las mediciones potenciales. En el caso de un operador de dimensión finita, se podría factorizar el operador como $A = P\,\Lambda\,P^{-1}$ y las unidades de $P$ y $P^{-1}$ cancelar.

Answer 4

Ya hay buenas respuestas, aquí hay algunas formas más de ayudar a verlo:

1. Si ya aceptas que los vectores pueden tener unidades (como en $\mathbf{F} = m \mathbf{a}$ ), entonces ya has aceptado que las construcciones algebraicas que no son sólo números pueden tener unidades. El caso de los operadores no es más complicado.
2. Ya has visto ejemplos de operadores con unidades en la mecánica clásica. Por ejemplo, considere la ecuación $L = I \omega$ . Para un objeto 3D general, la generalización es $\mathbf{L} = \hat{I} \boldsymbol{\omega}$ , donde $\hat{I}$ es el "tensor de momento de inercia". Es una forma elegante de decir $\hat{I}$ es un operador lineal, y claramente debe tener las mismas unidades que el escalar $I$ lo hizo.