¿Es$x_1^2-x_2^3$ irreductible?

Question

Es el polinomio $f=x_1^2-x_2^3 \in K[x_1,x_2]$, $K$ campo, irreductible? Yo creo que sí, porque:

• $f=x_1^2-x_2^3$ tiene el grado $3$. Si supongamos que $f=hk$ es no trivial factorización, de deg$h=1$ y deg$k=2$. Luego escribo $h=ax_1+bx_2+c$ $k=a'x_1^2+b'x_2^2+c'$ (no escribo $k=a'x_1^2+b'x_2^2+c'+d'x_1x_2$ porque en $f$ no hay el producto mezclado $x_1x_2$). Luego multiplyng y la imposición de la igualdad entre el $f$ $hk$ me parece que $aa'=0; \quad ab'=0; \quad ac'=0$, por lo que puedo concluir $a=0$ lo contrario $k=0$ y eso es absurdo. Continuando, también he a $ba'=0; \quad bb'=-1; \quad bc'=0$, por lo que llego a la conclusión de que $b\neq0$$a'=c'=0$. Pero ahora en $hk$ no se puede comparar el monomio $x_1^2$. Absurdo.
• Es correcto mi razonamiento?
• Hay otras maneras de demostrar esta irreductibilidad? En genereal que son los "trucos" o las observaciones que se pueden usar para probar la irreductibilidad del polinomio en tales casos?

Answer 1

Si$A$ es un anillo conmutativo, el polinomio$y^2-a\in A[y]$ es irreducible si$a$ no es un cuadrado en$A$.
Aplicar para $a=x^3\in A=K[x]$.

Answer 2

Para probar que$x^3-y^2\in K[x,y]$ es irreducible. Lo tratamos como polinomio en$K(y)[x]$. Entonces tiene grado$3$. Ya que no hay$f(y)\in K(y)$ tal que$f(y)^3 - y^2=0$. Vemos que$x^3-y^2$ es irreducible en$K(y)[x]$, por lo tanto, irreducible en$K[y][x]$.