Basado en el teorema de Rolle: Si$\,f'$ es continuo en$[a,a+h]$ y se deriva en$(a,a+h)$, entonces demuestre que existe un número real$c$ ...

Question

Si$\,f'$ es continuo en$[a,a+h]$ y se deriva en$(a,a+h)$, entonces demuestre que existe un número real$c$ entre$a$ y$a+h$ tal que PS

La solución provista en el libro comienza con la definición de una función$$ f(a+h)=f(a)+hf'(a)+(h^2/2)f''(c).$ en$\phi$ como:$[a,a+h]$ $

donde$$\phi(x)=f(x)+(a+h-x)f'(x)+\cfrac{1}{2}(a+h-x)^2A$ es una constante determinada por$A$ ie,$\phi(a)=\phi(a+h)$

No puedo entender el proceso, ¿alguien puede ayudar?

Answer 1

Esta es la prueba de la expansión de Taylor de segundo orden con la forma de Lagrange del resto.

Tenemos$\phi(a) = \phi(a+h) = f(a+h)$ si elegimos

PS

Según el teorema de Rolle, hay un punto$$A = \frac{f(a+h) - f(a) - f'(a)h}{\frac{1}{2}h^2}.$ tal que$c \in (a,a+h)$

Tenga en cuenta que

PS

Por lo tanto,$\phi'(c) = 0.$ implica que$$\phi'(x) = f'(x) - f'(x) + (a+h - x)f''(x) - (a+h - x)A.$ lo que a su vez implica

PS