Deje que $X$ ser un espacio paracompacto Hausdorff. Es fácil ver la siguiente afirmación.
Si $X$ es compacto, entonces cada función continua está limitada.
¿Se mantiene la conversación? Si cada función en $X$ está limitada, entonces es $X$ ¿compacto?
La razón por la que asumo $X$ para ser paracompacto Hausdorff es la existencia de un número "suficiente" de funciones. A saber, quise hacer uso de una partición de la unidad, pero mi intento no ha tenido éxito todavía. Así que siéntase libre de eliminar las suposiciones, si lo desea.
