Fracción parcial $\frac{x}{(1+x)^2}$

Question

¿Cómo calculas$\dfrac{x}{(1+x)^2}$ usando fracciones parciales? La razón por la que pregunto es porque cuando trato de resolverlo, sigo obteniendo un$A, B$ imposible.

$A(1+x) + B(1+x) = x$

$A + Ax + B + Bx = x$

$(A+B)x = 1$

$(A+B) = 0$

Sin embargo, un problema de práctica en el que estoy trabajando implica que esto puede resolverse mediante fracciones parciales, pero no entra en detalles.

Answer 1

La respuesta de Raskolnikov es una forma bastante ingeniosa de hacer esto, pero si quisieras un algoritmo más general para problemas como este, aquí tienes.

Siempre que el denominador sea un término cuadrado al cuadrado, como está aquí, ya que es$(1 + x)^2$, entonces configuras la fracción parcial de esta manera:

PS

Entonces resolver esto es solo cuestión de multiplicar ambos lados por$$\frac{x}{(1 + x)^2} = \frac{A}{1 + x} + \frac{B}{(1 + x)^2}$.

Answer 2

PS

Answer 3

$$\frac{x}{(1 + x)^2} = \frac{A}{1 + x} + \frac{B}{(1 + x)^2}$ $$$x=A(1+x)+B $ $ put$x=-1$ da$B=-1$ y comparar el coeficiente de x de ambos lados da$A=1$ así que la respuesta es$$\frac{x}{(1 + x)^2} = \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^2}$ $