¿Por qué necesitamos noetherianness (o algo parecido) para Serre ' criterio s para affineness?

Question

Serre criterio para affineness (Hartshorne III.3.7) se establece que:

Deje $X$ ser un noetherian esquema. Supongamos $H^1(X, \mathcal{F})= 0$ por cada cuasi coherente gavilla en $X$. A continuación, $X$ es afín.

Hay una declaración más general (EGA II.5.2.1) que llega a la misma conclusión con la hipótesis de que la $X$ es separado cuasi-sistema compacto o uno donde el espacio topológico es noetherian.

Yo no, sin embargo, entender por qué tenemos estas hipótesis. La idea de la prueba es encontrar un conjunto de $g_i \in \Gamma(X, O_X)$ generación de la unidad de ideales y de tal manera que el $X_{g_i}$ son afines. Esto se puede hacer por que muestra el $X_{g_i}$ formar una base en cada punto cerrado utilizando el cohomology instrucción (un argumento que estoy bastante seguro de que funciona sin ninguna de las condiciones en el esquema). A continuación, tomar abrir afín a los conjuntos de la forma $X_f$ que contiene cada punto cerrado y tomar su unión; este es un conjunto abierto cuyo complemento es cerrado y no debe contener ningún punto cerrado, por lo tanto está vacía. Esta parte del argumento se basa en el hecho de que cada subconjunto cerrado contiene un punto cerrado, un hecho que es verdadero en virtud de noetherian hipótesis, ya que un esquema es una $T_0$-espacio.

Pero, ¿no es cierto que cada cuasi-compacto $T_0$ espacio tiene un punto cerrado? Un mínimo conjunto cerrado debe ser reducido a un punto. Así que estoy claro por qué "cuasi-compacidad" por sí sola no es suficiente. (Esto no debería ser suficiente. Grothendieck no es de uno a pique hipótesis!)

Preguntas:

1. ¿De dónde viene el argumento estándar derribar a los regímenes que sólo son cuasi-compacto?

2. Esto es cierto si $X$ es sólo cuasi-separados y cuasi-compacto? (Hay contraejemplos de otra manera?)

Answer 1

La respuesta corta es que la cuasi-compacidad es suficiente (para la declaración que se le preguntó acerca de): ver lema 3.1 en http://www.math.columbia.edu/algebraic_geometry/stacks-git/coherent.pdf (pero, esencialmente, el argumento en Hartshorne)

este negocio de extra hipótesis surge porque Hartshorne y Gronthendieck son la prueba de una unidad de instrucción; es decir, estas hipótesis son necesarios para demostrar que si $X$ es afín, a continuación, $H^1(X,F) = 0$ por cada quasicoherent gavilla. En el caso de Hartshorne necesita notherian hipótesis a probar

lema II.3.3 Si $I$ es un inyectiva $A$-módulo de e $f \in A$ $I \to I_f$ es surjective.

con este lema se pueden mostrar entonces si $I$ es inyectiva, a continuación, $\tilde I$ es flasque una así que usted puede utilizar para calcular cohomology: $F$ es quasicoherent $\Rightarrow F = \widetilde{M}$. Si $M \to I_0 \to I_1 \to ...$ (1) es inyectiva resolución, a continuación, $\widetilde{M} \to \widetilde{I_0} \to \widetilde{I_1} \to ...$ es flasque resolución y la aplicación global de las secciones sólo se recupera (1) para todos los mayores cohomology se desvanece.

Yo no estoy familiarizado con Gronthendieck del argumento y no sé si se puede reemplazar separados con cuasi-separados.