Por qué diferenciar entre subconjunto y subconjunto propio

Question

Estoy empezando a leer el libro de Rudin, Principios del análisis matemático (ed. 3) - actualmente en la parte de las definiciones de teoría de conjuntos que utiliza (pp. 3). Algunas de estas definiciones son:

Definición 1: Si $A$ y $B$ son conjuntos, y si cada elemento de $A$ es un elemento de $B$ decimos que $A$ es un subconjunto de $B$ y escribir $A \subset B$ . Si, además, hay un elemento de $B$ que no está en $A$ entonces $A$ se dice que es un subconjunto propio de $B$ .

Definición 2: Si $A \subset B$ y $B \subset A$ escribimos $A=B$ . De lo contrario, $A \ne B$ .

A partir de estas definiciones, parece innecesario diferenciar entre subconjunto y subconjunto propio. Tomemos la siguiente conjetura.

Conjetura: Supongamos que $A \subset B$ y $A$ no es un subconjunto propio de $B$ . Entonces $A=B$

Prueba: Si $A$ no es un subconjunto propio de $B$ , entonces tomando la inversa de la definición 1 sobre subconjuntos propios, no existe un elemento de $B$ que no pertenece a $A$ . Sin embargo, eso significa que cada elemento de $B$ debe belog a $A$ , que según la definición 1 sobre subconjuntos, $B \subset A$ y según la definición 2, $A=B$

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Siguiendo lo que había elaborado anteriormente, lo que me pregunto es ¿Por qué diferenciar entre subconjunto y subconjunto propio? Dado el hecho de que la igualdad es proporcionada por la definición 2, me parece que el mantenimiento de un concepto de "subconjunto adecuado" es frívolo.

Answer 1

No creo que encuentres mucha tracción entre los matemáticos para eliminar la noción de subconjunto propio.

Por ejemplo, los reales están muy bien, pero a veces sólo nos interesan los racionales, o los naturales, o un intervalo acotado, o un subconjunto finito... todos los cuales son subconjuntos propios de los reales.

La idea general es que un subconjunto está compuesto por alguna porción del conjunto (posiblemente todo). Un subconjunto adecuado tiene una porción del conjunto eliminada. Sin embargo, veo que Brian ha encapsulado realmente las cosas con su comentario. Para ser más precisos, dada cualquier relación de orden parcial (como la relación de subconjunto), podemos obtener una relación de orden parcial estricta simplemente requiriendo irreflexividad--y dada una relación de orden parcial estricta (como la relación de subconjunto propio), podemos obtener una relación de orden parcial permitiendo la reflexividad.

Answer 2

Para un ejemplo concreto, tomemos $B=\{1,2\}$ Entonces, si $A$ es un subconjunto adecuado, $A$ puede ser $\{1\}$ o $\{2\}$ o $\emptyset $ . Si no requiere un subconjunto adecuado, $A$ puede ser $\{1,2\}$ Ambas nociones son útiles, así que las nombramos.