Estoy tratando de pasar por el proceso de determinar si un conjunto de permutaciones es un subgrupo. Estaba esperando que alguien podría mirar por encima de la lógica de esta respuesta para la integridad y la solidez de la lógica. Yo creo entender, en última instancia, de cómo comprobar esto, pero me preocupa que estoy "reinventar la rueda" cuando hay una mucho más fácil, más intuitiva. (En otras palabras, nunca quisiera replicar algo como esto en un tiempo de examen.)
Tenemos el conjunto: $\{\text{id}, (12345), (13524), (14253), (15432)\}$.
Necesitamos comprobar cuatro propiedades:
(a) Asociatividad: Esto es trivialmente el caso, como se sostiene para todas las permutaciones y para el grupo, $S_5$, por lo que seguramente tendrá para un subconjunto de ese grupo, independientemente de si dichas permutaciones forman un subgrupo.
(b) la Identidad: La identidad de permutación es, de hecho, se incluyen en este conjunto.
(c) Cierre: creo que la única manera de comprobar esto es tomar todas las posibles composiciones de las permutaciones en el grupo y asegurar la producción de los elementos en el grupo.
La identidad, claramente, va a producir cualquiera de las permutaciones que nos componen, y los viajes, por lo que podemos por el momento omitir que a partir de nuestro proceso de verificación. Vamos a denotar estas permutaciones como: \begin{align*} & (12345) = \sigma \\ & (13524) = \beta \\ & (14253) = \tau \\ & (15432) = \gamma \end{align*} Yo, a continuación, puede comprobar cada uno de estos. En el trabajo de estos en un pedazo de papel (la manera más fácil sería, tal vez, con un grupo de la tabla), me sale: \begin{align*} & \tau \sigma = (15432) = \gamma \\ & \sigma \tau = (15432) = \gamma \\ & \gamma \sigma = \text{id} \\ & \sigma \gamma = \text{id} \\ & \beta \sigma = (14253) = \tau \\ & \sigma \beta = (14253) = \tau \\ & \tau \sigma = (15432) = \gamma \\ & \sigma \sigma = (13524) = \beta \\ & \beta \tau = \text{id} \\ & \tau \beta = \text{id} \\ & \gamma \tau = (15432) = \beta \\ & \tau \gamma = (13524) = \beta \\ & \tau \tau = (12345) = \sigma \\ & \beta \gamma = (12345) = \sigma \\ & \gamma \beta = (12345) = \sigma \\ & \beta \beta = (15432) = \gamma \\ & \gamma \gamma = (14253) = \tau \end{align*} Así, podemos ver que el grupo es cerrado bajo la composición de las permutaciones.
Inversos: la inversa de La identidad es claramente la identidad. La inversa de a$\beta$$\tau$, y por lo tanto la identidad de $\tau$$\beta$. La inversa de a$\gamma$$\sigma$, y por lo tanto el inverso de a$\sigma$$\gamma$. Por lo tanto, cada elemento de este grupo tiene una inversa.
Por tanto, parece que, a menos de que he cometido un error-que estas cuatro condiciones de salida. Mis preguntas, entonces, son:
(a) ¿Cómo se ve?
(b) existe una forma más fácil, más intuitiva para el planteamiento de un problema distinto de la escritura de la tabla del grupo?
