Demuestre que el punto de equilibrio $(0,0)$ es asintóticamente estable y una estimación de su cuenca de atracción

Question

Considere el sistema $$\begin{aligned} \dot{x} &=-y-x^3+x^3y^2\\ \dot{y}&=x-y^3+x^2y^3\end{aligned}$$ Demuestre que el punto de equilibrio $(0,0)$ es asintóticamente estable y una estimación de su cuenca de atracción.

---

Claramente el punto $(0,0)$ es un punto de equilibrio y también $D_f(x,y)=\begin{pmatrix}-3x^2+3y^4 & -1+2yx^3\\ 1+2xy^3 &-3y^2+3y^2x^2 \end{pmatrix}$ Así que $D_f(0,0)=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 &0 \end{pmatrix}$ y tiene valores propios $ \pm i$ Entonces, no puedo concluir nada de estabilidad para este punto, necesito una función de Liapunov y no sé cuál es ni cómo encontrarla, ¿alguien podría ayudarme por favor? Muchas gracias.

Answer 1

Además de lo dicho por @Evgeny y @MrYouMath: el conjunto $$ M=\left\{ (x,y)\in\mathbb R^2 :\; x^2+y^2<2 \right\} $$ es un conjunto positivamente invariante del sistema considerado ya que $\forall (x,y)\in M$ $$ \dot V=-x^4-y^4+x^2y^2(x^2+y^2)<-x^4-y^4+2x^2y^2=-(x^2-y^2)^2\leq 0; $$ también es un subconjunto (estimación garantizada) del dominio de atracción.

Answer 2

Como sugirió @Evgeny podrías utilizar la función candidata de Lyapunov

$$V(x,y)=\dfrac{1}{2}\left[x^2+y^2\right].$$

$V(x,y)$ es claramente definida positiva en el origen y radialmente no acotada (lo que necesitaríamos para evaluar la estabilidad asintótica global).

La derivada temporal de $V(x,y)$ viene dada por $$\dot{V}=x\dot{x}+y\dot{y}=x(-y-x^3+x^3y^2)+y(x-y^3+x^2y^3)$$ $$\dot{V}=-x^4-y^4+x^2y^2(x^2+y^2)=-(1-y^2)x^4-(1-x^2)y^4.$$

Como los términos de orden inferior $-x^4-y^4$ son negativas definidas podemos concluir que el punto de equilibrio es asintóticamente estable en una región alrededor del origen. Utilizando el comentario de @Evgeny podemos ver que esta expresión es semidefinida negativa si $(x,y)$ se encuentran dentro del círculo unitario $D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+y^2<1\}$ . Esta es la cuenca de atracción (corrección debida a @Artem).

No podemos decir si el origen es globalmente estable asintóticamente porque $\dot{V}$ no es negativa definida para todas las regiones alrededor del origen. Esto no significa que el origen no pueda ser globalmente estable asintóticamente. Sólo significa que sólo podemos mostrar la estabilidad asintótica (local) del origen con $V(x)$ como nuestro candidato a función de Lyapunov.

Answer 3

Este problema puede ser tratado con un procedimiento de optimización, teniendo en cuenta que generalmente es un problema no convexo. El resultado depende de la función de Lyapunov de prueba utilizada por lo que generalizaremos a una función de Lyapunov cuadrática

$$ V(p) = p^{\dagger}\cdot M\cdot p = a x^2+b x y + c y^2,\ \ \ p = (x,y)^{\dagger} $$

y

$$ f(p) = \{-y - x^3 + x^3 y^2, x - y^3 + x^2 y^3\} $$ con $a>0,c>0, a b-b^2 > 0$ para asegurar la positividad en $M$ . Aseguraremos un conjunto que incluya el origen $Q_{\dot V}$ tal que $\dot V(Q_{\dot V}) < 0$ . El proceso de optimización se utilizará para garantizar una máxima $Q_{\dot V}$ .

Tras la determinación de $\dot V = 2 p^{\dagger}\cdot M\cdot f(p)$ seguimos con un cambio de variables

$$ \cases{ x = r\cos\theta\\ y = r\sin\theta } $$

así que $\dot V = \dot V(a,b,c,r,\theta)$ . El siguiente paso es hacer un barrido en $\theta$ calculando

$$ S(a,b,c, r)=\{\dot V(a,b,c,r,k\Delta\theta\},\ \ k = 0,\cdots, \frac{2\pi}{\Delta\theta} $$

y entonces la formulación de optimización sigue como

$$ \max_{a,b,c,r}r\ \ \ \ \text{s. t.}\ \ \ \ a > 0, c> 0, a c -b^2 > 0, \max S(a,b,c,r) \le -\gamma $$

con $\gamma > 0$ un número de control del margen.

Sigue un MATHEMATICA script que implementa este procedimiento en el presente caso.

f = {-y - x^3 + x^3 y^2, x - y^3 + x^2 y^3};
V = a x^2 + 2 b x y + c y^2;
dV = Grad[V, {x, y}].f /. {x -> r Cos[t], y -> r Sin[t]};
rest = Max[Table[dV, {t, -Pi, Pi, Pi/30}]] < -0.1;
rests = Join[{rest}, {r > 0, a > 0, c > 0, a c - b^2 > 0}];
sols = NMinimize[Join[{-r}, rests], {a, b, c, r}, Method -> "DifferentialEvolution"]
rest /. sols[[2]]

dV0 = Grad[V, p].f /. sols[[2]]
V0 = V /. sols[[2]]
r0 = 2;
rmax = r /. sols[[2]];
gr0 = StreamPlot[f, {x, -r0, r0}, {y, -r0, r0}];
gr1a = ContourPlot[dV0, {x, -r0, r0}, {y, -r0, r0}, ContourShading -> None, Contours -> 80];
gr1b = ContourPlot[dV0 == 0, {x, -r0, r0}, {y, -r0, r0}, ContourStyle -> Blue];
gr2 = ContourPlot[x^2 + y^2 == rmax^2, {x, -r0, r0}, {y, -r0, r0}, ContourStyle -> {Red, Dashed}];
Show[gr0, gr1a, gr1b, gr2]

Sigue un gráfico que muestra en negro los conjuntos de niveles $Q_{\dot V}$ y en azul el rastro de $\dot V = 0$ . En rojo discontinuo se muestra el mayor conjunto circular $\delta = 1.42486$ que define la cuenca de máxima atracción para la familia de la función de Lyapunov de prueba dada.