Tirando de los campos vectoriales

Question

Quiero encontrar las condiciones en las que se pueden retirar campos vectoriales (si es posible).

Deje que$F:M \to N$ sea un mapa de superjetivo suave entre dos$C^{\infty}$ variedades de la misma dimensión. Deje que$Y$ sea un campo vectorial en$N$ (es decir, una sección uniforme del paquete tangente$TN$). Defina:$T^\ast Y(p)(f)=Y(F(p))(f\circ F^{-1})$, donde$f \in C^{\infty}(M,\mathbb R)$. Verificamos que$T^\ast Y$ es una derivación, y esto es cierto ya que:

$T^\ast Y(p)(fg)=Y(F(p)(fg \circ F^{-1})=Y(F(p)((f \circ F^{-1})(g \circ F^{-1}))$

Mi pregunta: ¿Es suficiente que$F$ sea un difeomorfismo local para que esto funcione?

Answer 1

A tirar para atrás campos vectoriales en $N$ usted querrá para $F : M \to N$ a ser un local diffeomorphism (en cada punto de $M$):

Si $Y$ es un buen campo de vectores en $\operatorname{Im} F$ (es decir, la imagen de $F$, que es un subconjunto abierto de $N$), a continuación, puede definir un campo de vectores en $M$$m \in M \mapsto \left( \operatorname{T}_m F \right)^{-1}(Y_{F(m)})$, lo cual está bien definido ya que cada una de las $\operatorname{T}_m F : \operatorname{T}_m M \to \operatorname{T}_{F(m)} N$ es un bijection. $X$ va a ser suave, ya que para cualquier $m \in M$ podemos seleccionar un abierto (en $M$) de vecindad $U$ $m$ tal que $F\big\vert_U : U \to F(U)$ es un diffeomorphism en el abierto subconjunto $F(U)$$N$. Tenga en cuenta que $X\big\vert_U$ es igual a la pushforward $X\big\vert_U = \left( F\big\vert_U^{-1} \right)_{*}\left( Y\big\vert_{F(U)} \right)$, que es lisa, de modo que $X$ es suave alrededor de cada punto de $M$.