Permítanme en primer lugar dar una definición abstracta de la homotopy colimit. Deje $C$ ser un cofibrantly modelo generado categoría y deje $D$ ser una pequeña categoría. Hay una contigüidad $$ \operatorname{colim}\colon Functor(D,C)\leftrightarrows C\colon\operatorname{const} $$ la definición de la colimit como medico adjunto del functor el envío de un objeto de $X$ a la constante diagrama $E:D\to C$, $E(d)=X$. La categoría de $Functor(D,C)$ en el lado izquierdo lleva el proyectiva estructura del modelo, donde débil equivalencias y fibrations se definen objectwise.
Con este modelo de estructura, la contigüidad de arriba es una Quillen contigüidad y por lo tanto tiene un derivado de contigüidad $$ \operatorname{Hocolim}\colon Ho(Functor(D,C))\leftrightarrows Ho(C)\colon\operatorname{Hoconst} $$ cuya izquierda-adjoint se llama la homotopy colimit por definición.
Hay hasta un único isomorfismo sólo un functor adjunto a algún functor. Por lo tanto, si $\operatorname{Hoconst}$ es que dado functor, el homotopy colimit functor es único hasta un único isomorfismo. Por otro lado, he aprendido que la homotopy colimit es única hasta el isomorfismo en la homotopy categoría, pero no es el único hasta el único isomorfismo. Podría alguien ayudarme a aclarar esta situación confusa?
