Oscilación de una función en un punto

Question

Definimos $$Osc_f(x):=\inf_{r>0}Osc_f\left((x-r,x+r)\right)$$ Dónde, $$Osc_f(U)=\sup_{x\in U}f(x)-\inf_{x\in U}f(x)$$

Ahora definimos $f:\mathbb{R}\to[0,1)$ sobre los dígitos binarios de la siguiente manera, $$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\beta_{2k}(x)}{2^k}$$ para $x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\beta_k(x)}{2^k}$ donde $\beta_k(x)\in \{0,1\}$ y $\liminf_k\beta_k(x)=0$ . $f(x)=0 \text{ for } x\in \mathbb{R}\setminus(0,1)$ .
Tengo que demostrar que $Ocs_f(x)=2^{-m}$ si $x=\frac{2k+1}{2^{2m+1}}$ donde $m\in\mathbb{N}$ y $0\leq k\le2^{2m}-1$ . Si ayuda, el gráfico de $f(x)$ ,

No tengo ni idea ni pista. Me encantaría algún consejo.

Answer 1

Si $x = \dfrac{2k + 1}{2^{2m + 1}}$ entonces la representación binaria de $x$ consiste en la representación binaria de $k$ hasta $2m$ dígitos binarios y a continuación $1$ . Esto significa que si $$k = b_{1}b_{2}\ldots b_{2m}$$ en notación binaria, entonces $$x = 0.b_{1}b_{2}\ldots b_{2m}1$$ en la notación binaria. De ello se desprende que $\beta_{i}(x) = b_{i}$ para $i = 1, 2, \ldots 2m$ y $\beta_{2m + 1}(x) = 1$ .

Por lo tanto, $$f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\beta_{2n}(x)}{2^{n}} = \sum_{n = 1}^{m}\frac{b_{2n}}{2^{n}}$$ Ahora podemos elegir un barrio $I$ de $x$ tan pequeño que el primer $2m$ dígitos binarios de cualquier número en la vecindad $I$ son los mismos que los de $x$ . Sea $y$ sea cualquier punto de este tipo en esta vecindad $I$ entonces $$y = 0.b_{1}b_{2}\ldots b_{2m}c_{1}c_{2}\ldots$$ y entonces podemos ver que $$f(y) = \sum_{n = 1}^{m}\frac{b_{2n}}{2^{n}} + \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{c_{2n}}{2^{m + n}} = f(x) + \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{c_{2n}}{2^{m + n}}$$ por lo que se deduce que el ínfimo de $f$ se produce cuando todos los $c_{i}$ son $0$ y por lo tanto $$\inf_{y \in I}f(y) = f(x)$$ y claramente el supremum se produce cuando todos los $c_{i}$ son $1$ y por lo tanto $$\sup_{y \in I}f(y) = f(x) + \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2^{m + n}} = f(x) + \frac{1}{2^{m}}$$ Obsérvese que para cualquier número $y \in I$ con $y < x$ tenemos $c_{1} = 0$ y para cualquier número $y \in I$ con $y > x$ debemos tener $c_{1} = 1$ . Está claro que nada de esto afecta $f(y)$ porque su valor depende de $c_{2}, c_{4}$ etc.

De ello se desprende que $$\text{Osc}_{f}(I) = \frac{1}{2^{m}}$$ por muy pequeño que sea el barrio $I$ elegimos alrededor de $x$ . Así, $\text{Osc}_{f}(x) = 2^{-m}$ .

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También debe poder demostrar que para todos los demás puntos de $(0, 1)$ la oscilación de $f$ es $0$ . Así, $f$ es continua en $(0, 1)$ excepto para un número contable de puntos en dado por $x = (2k + 1)/2^{2m + 1}$ . Además, hay que tener en cuenta que incluso si $f$ es discontinua en estos puntos excepcionales es posible elegir el valor de $m$ tal que la oscilación de $f$ en $x$ es decir $1/2^{m}$ puede hacerse más pequeño que cualquier cantidad dada.