¿De cuántas formas se pueden dividir 10 personas en grupos de 2 y 3?

Question

¿De cuántas maneras pueden dividirse 10 personas en grupos de 2 y 3? La respuesta dice ${5 \choose 2}$ ... ¿Pero no es la respuesta si la pregunta fuera: "¿De cuántas maneras puede 5 las personas se dividan en grupos de 2 y 3?"

Answer 1

Podemos tener los grupos asignados con el siguiente número de personas: $$(1)\,\{2,2,2,2,2\}\\(2)\,\{2,2,3,3\}$$

Caso 1: Elija grupos de $2$ de $10, 8, 6, 4$ sucesivamente hasta llegar a nuestro par final. Nuestro $5$ Los conjuntos de grupos son los mismos independientemente del orden en que se elijan, por lo que el número de formas aquí sería: $$\binom{10}{2}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\frac{1}{5!}$$ Caso 2 :

1. Elija $3$ personas de $10$ .
2. Elija $3$ personas del resto de $7$ .
3. Elija $2$ personas del resto de $4$ , dejando el resto para formar la pareja final.

En resumen, tenemos $2$ diferentes tipos de grupos, cada uno de los cuales contiene $2$ grupos. Eliminando las repeticiones al tener en cuenta el orden en el que se pueden elegir dichos grupos, el número de formas aquí es: $$\binom{10}{3}\binom{7}{3}\binom{4}{2}\left(\frac{4!}{2!\,2!}\right)^{-1}$$

Suma los casos y tendrás el resultado.

Answer 2

Podemos tener los grupos asignados con el siguiente número de personas: $$(1)\,\{2,2,2,2,2\}\\(2)\,\{2,2,3,3\}$$

Caso 1: Elija grupos de $2$ de $10, 8, 6, 4$ sucesivamente hasta llegar a nuestro par final. Nuestro $5$ Los conjuntos de grupos son los mismos independientemente del orden en que se elijan, por lo que el número de formas aquí sería: $$\binom{10}{2}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\frac{1}{5!} = 945$$

Fíjate que podemos hacer esto de otra manera.

$10/2 = 5$ Por lo tanto, hay $5$ grupos. ¡Podemos organizar a 10 personas en 10! De manera. Si elegimos el $n,n+1$ personas de ese arreglo Entonces elegimos 5 veces groeps de tamaño $2$ . Hay que eliminar el orden de los 5 grupos Así que corregimos $10!$ a $\frac{10!}{5!}$ . El orden de los 2 miembros en cada grupo debe ser eliminado también , Así que corregimos $\frac{10!}{5!}$ a

$$ \frac{10!}{5! 2^5} = 945 $$ .

Este método da el mismo resultado ( $945$ ).

El caso 2 puede hacerse de forma similar.

Esta respuesta es similar a la aceptada, pero sólo quería mostrar una forma alternativa.

Como este camino alternativo es también una respuesta y este conjunto es demasiado largo para un comentario lo he convertido en una respuesta.

Answer 3

Esto equivale a dividir un grupo de 10 personas en un grupo de 5, un grupo de 3 y un grupo de 2. Hay $10!/(5!3!2!)$ formas de hacerlo. De forma equivalente, se podría pensar en elegir primero a cinco personas de entre las $10$ y luego elegir a dos personas de entre las $5$ . Hay $\binom{10}{5}\cdot\binom{5}{2}$ formas de hacerlo. Si calculas ambos métodos te dan $2520$ .