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¿De cuántas formas se pueden dividir 10 personas en grupos de 2 y 3?

¿De cuántas maneras pueden dividirse 10 personas en grupos de 2 y 3? La respuesta dice ${5 \choose 2}$ ... ¿Pero no es la respuesta si la pregunta fuera: "¿De cuántas maneras puede 5 las personas se dividan en grupos de 2 y 3?"

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TALLBOY Puntos 818

Podemos tener los grupos asignados con el siguiente número de personas: $$(1)\,\{2,2,2,2,2\}\\(2)\,\{2,2,3,3\}$$

Caso 1: Elija grupos de $2$ de $10, 8, 6, 4$ sucesivamente hasta llegar a nuestro par final. Nuestro $5$ Los conjuntos de grupos son los mismos independientemente del orden en que se elijan, por lo que el número de formas aquí sería: $$\binom{10}{2}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\frac{1}{5!}$$ Caso 2 :

  1. Elija $3$ personas de $10$ .
  2. Elija $3$ personas del resto de $7$ .
  3. Elija $2$ personas del resto de $4$ , dejando el resto para formar la pareja final.

En resumen, tenemos $2$ diferentes tipos de grupos, cada uno de los cuales contiene $2$ grupos. Eliminando las repeticiones al tener en cuenta el orden en el que se pueden elegir dichos grupos, el número de formas aquí es: $$\binom{10}{3}\binom{7}{3}\binom{4}{2}\left(\frac{4!}{2!\,2!}\right)^{-1}$$

Suma los casos y tendrás el resultado.

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El factor $\left(\frac{4!}{2!\,2!}\right)^{1}=\frac{1}{6}$ no es correcto. Hay cuatro repeticiones de cada partición, no seis. Por ejemplo, considere la selección del conjunto $\{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\}.$ La selección $$(\{A,B,C\},\,\{D,E,F\},\,\{G,H\},\,\{I,J\})$$ da la misma partición que la selección $$(\{A,B,C\},\,\{D,E,F\},\,\{I,J\},\,\{G,H\}),$$ la selección $$(\{D,E,F\},\,\{A,B,C\},\,\{G,H\},\,\{I,J\}),$$ y la selección $$(\{D,E,F\},\,\{A,B,C\},\,\{I,J\},\,\{G,H\}).$$

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El coeficiente multinomial $$\binom{10}{3}\binom{7}{3}\binom{4}{2}=\binom{10}{3,\,3,\,2,\,2}$$ no cuenta las formas de elegir dos grupos de $3$ y dos grupos de $2$ en cualquier orden; es contar las formas de elegir un grupo de $3,$ que otro grupo de $3,$ entonces un grupo de $2,$ luego otro grupo de $2,$ en ese orden. El sobreconteo resulta de la posibilidad de que una selección tenga los mismos grupos de $3$ como otro, pero en el orden inverso, y lo mismo para los grupos de $2.$

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He dado una ligera variación de su respuesta. Espero que no le importe.

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aldrinleal Puntos 2188

Podemos tener los grupos asignados con el siguiente número de personas: $$(1)\,\{2,2,2,2,2\}\\(2)\,\{2,2,3,3\}$$

Caso 1: Elija grupos de $2$ de $10, 8, 6, 4$ sucesivamente hasta llegar a nuestro par final. Nuestro $5$ Los conjuntos de grupos son los mismos independientemente del orden en que se elijan, por lo que el número de formas aquí sería: $$\binom{10}{2}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\frac{1}{5!} = 945$$

Fíjate que podemos hacer esto de otra manera.

$10/2 = 5$ Por lo tanto, hay $5$ grupos. ¡Podemos organizar a 10 personas en 10! De manera. Si elegimos el $n,n+1$ personas de ese arreglo Entonces elegimos 5 veces groeps de tamaño $2$ . Hay que eliminar el orden de los 5 grupos Así que corregimos $10!$ a $\frac{10!}{5!}$ . El orden de los 2 miembros en cada grupo debe ser eliminado también , Así que corregimos $\frac{10!}{5!}$ a

$$ \frac{10!}{5! 2^5} = 945 $$ .

Este método da el mismo resultado ( $945$ ).

El caso 2 puede hacerse de forma similar.

Esta respuesta es similar a la aceptada, pero sólo quería mostrar una forma alternativa.

Como este camino alternativo es también una respuesta y este conjunto es demasiado largo para un comentario lo he convertido en una respuesta.

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Jus Lala Puntos 1

Esto equivale a dividir un grupo de 10 personas en un grupo de 5, un grupo de 3 y un grupo de 2. Hay $10!/(5!3!2!)$ formas de hacerlo. De forma equivalente, se podría pensar en elegir primero a cinco personas de entre las $10$ y luego elegir a dos personas de entre las $5$ . Hay $\binom{10}{5}\cdot\binom{5}{2}$ formas de hacerlo. Si calculas ambos métodos te dan $2520$ .

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Gracias. ¿Significa esto que la respuesta proporcionada (por mí) era incorrecta?

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Aha quizás interpreté mal la pregunta - esta solución es para elegir un grupo de $2$ y un grupo de $3$ de la $10$ mientras que tal vez usted está preguntando cómo dividir todo el grupo de $10$ en pares y triples como indica la otra respuesta.

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