Problema de raíces cúbicas de la unidad

Question

Dado que $$\frac{1}{a+\omega}+\frac{1}{b+\omega}+\frac{1}{c+\omega}=2\omega^2\;\;\;\;\;(1)$$ $$\frac{1}{a+\omega^2}+\frac{1}{b+\omega^2}+\frac{1}{c+\omega^2}=2\omega\;\;\;\;\;(2)$$

Encuentre $$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=?\;\;\;\;\;\;(3)$$

He intentado sumar las dos ecuaciones dadas y las he simplificado. Voy a mostrar el trabajo para un término aquí. $$\frac{1}{a+\omega}+\frac{1}{a+\omega^2}=\frac{2a-1}{a^2-a+1}=\frac{(2a-1)(a+1)}{(a^3+1)}=\frac{2a^2+a-1}{a^3+1}$$ $$\frac{1}{a+1}=\frac{a^2-a+1}{a^3+1}=\frac{1}{2}\left[\frac{(2a^2+a-1)-3(a-1)}{a^3+1}\right]=\frac12\left[\frac{2a^2+a-1}{a^3+1}\right]-\frac32\left[\frac{a-1}{a^3+1}\right]$$

Ahora bien, no puedo eliminar ese término extra que me sale al final de la expresión anterior. ¿Hay esperanza más allá de esto? ¿O hay alguna alternativa mejor?

Answer 1

Ponga $A(x)=(x+a)(x+b)(x+c)=x^3+ux^2+vx+w$ . Entonces $$\frac{A^{\prime}(x)}{A(x)}=\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x+b}+\frac{1}{x+c}$$ Por lo tanto, obtenemos $A^{\prime}(\omega)=2\omega^2 A(\omega)$ y $A^{\prime}(\omega^2)-2\omega A(\omega^2)=0$ o si $Q(x)=xA^{\prime}(x)-2A(x)$ que $Q(\omega)=Q(\omega^2)=0$ . Por lo tanto $Q(x)$ es divisible por $(x-\omega)(x-\omega^2)=x^2+x+1$ . Tenemos $$Q(x)=x^3-vx-2w=(x-1)(x^2+x+1)+(-vx+1-2w)$$ Por lo tanto $v=0$ , $w=1/2$ y $Q(x)=(x-1)(x^2+x+1)$ , $A'(1)=2A(1)$ y hemos terminado.

Answer 2

Claramente, las dos de las tres raíces de $$\frac1{a+x}+\frac1{b+x}+\frac1{c+x}=\frac2x$$ son $\omega,\omega^2$

Sobre la simplificación, $$2x^3+2(a+b+c)x^2+2(ab+bc+ca)x+2abc=3x^3+2x^2(a+b+c)+x(ab+bc+ca)$$

$$\iff x^3+x^2(0)-(ab+bc+ca)x-2abc=0$$

Si $a$ es la tercera raíz, utilizando la fórmula de Veita $$a+\omega^2+\omega=-\dfrac01$$

Espero que el resto sea fácil de solucionar.

Answer 3

Mi respuesta original no utilizaba la simetría agradable. Kelenner dio una respuesta mejor. Basándome en eso, he hecho otra respuesta, utilizando esencialmente el mismo método que Kelenner, pero con una definición diferente de la misma función que es (para mí) más fácil de entender. Cuando escribí por primera vez esta respuesta, no me di cuenta de que estaba utilizando exactamente la misma función, de lo contrario no habría escrito esto, pero ahora que está aquí lo dejo, porque puede ser más fácil de leer para algunas personas.

Definir la función $Q$ por $$Q(x)=\left(\left(\frac{1}{a+x}+\frac{1}{b+x}+\frac{1}{c+x}\right) x-2\right)(a+x)(b+x)(c+x)$$ A partir de las ecuaciones dadas: $$Q(\omega)=0,\quad Q(\omega^2)=0.$$ La función $Q$ puede simplificarse mucho (con manipulaciones sencillas): $$Q(x)=x^3-2abc$$ Porque $\omega$ y $\omega^2$ son ceros de $Q$ , $Q$ debe tener un factor $(x^2+x+1)$ . Siguiendo la división simbólica, esto sólo puede ser cierto si $(1-2abc)=0$ y luego $$Q(x)=(x^2+x+1)*(x-1)$$ Así que.., $Q(1)=0$ y de la definición original de $Q$ debe deducirse que $$\frac{1}{a+x}+\frac{1}{b+x}+\frac{1}{c+x}=2$$ .

Answer 4

Me gustaría añadir a la respuesta anterior, la simetría puso una chispa en mi cerebro y se me ocurrió esto.

Como en la respuesta dada por peiter.

Supongamos que

$X=\large\frac{1}{a+1}+\large\frac{1}{b+1}+\large\frac{1}{c+1}$ $\space\space\space\space\space\space\space\space$ y

$\large\frac{1}{a+\omega}+\large\frac{1}{b+\omega}+\large\frac{1}{c+\omega}=2\omega^2$

$\large\frac{1}{a+\omega^2}+\large\frac{1}{b+\omega^2}+\large\frac{1}{c+\omega^2}=2\omega$

Sumando las tres ecuaciones y considerando el primer término relacionado con " $a$ "

$X+2\omega+2\omega^2=\large\frac{1}{a+1}+\large\frac{1}{a+\omega}+\large\frac{1}{a+\omega^2}+other\space terms$

se simplifica a,

$X+2\omega+2\omega^2=\large\frac{3a^2}{a^3+1}+\large\frac{3b^2}{b^3+1}+\large\frac{3c^2}{c^3+1}$

Ahora como según la solución dada por pieter $X=2$

Por lo tanto

$\large\frac{3a^2}{a^3+1}+\large\frac{3b^2}{b^3+1}+\large\frac{3c^2}{c^3+1}$ debe ser igual a cero.

Si de alguna manera se puede demostrar que , la respuesta puede llegar a ser más simple.(es decir, para demostrar $X=2$ )

Sugeriría intentar multiplicar y dividir el expreso por $\omega$ y $\omega^2$ para llegar a otras expresiones que puedan dar este resultado.

Answer 5

Multiplica todas las ecuaciones por el producto de los denominadores ( $(a-\omega)(b-\omega)(c-\omega)$ en (1), $(a-\omega^2)(b-\omega^2)(c-\omega^2)$ en (2), etc.), para eliminar las fracciones. Las dos primeras ecuaciones se simplifican en (recuerda $\omega^3=1$ ):

$$ 0=(ab+ac+bc)+(2abc-1)\omega^2 $$ $$ 0=(ab+ac+bc)+(2abc-1)\omega $$ Porque $\omega\neq\omega^2$ sólo pueden ser ambas verdaderas si $2abc-1=0$ . En ese caso, ambas ecuaciones se convierten en $$ab+ac+bc=0.$$ Si sustituyo el signo de interrogación de su ecuación (3) por $X$ la ecuación pasa a ser (después de multiplicar por los tres términos): $$X=\frac{(b+1)(c+1)+(a+1)(c+1)+(a+1)(b+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$$ Ampliado: $$X=\frac{ab+bc+ac+2a+2b+2c+3}{abc+ab+ac+bc+a+b+c+1}$$ Utilice el hecho de que $ab+ac+bc=0$ y $2abc-1=2$ : $$X=\frac{2a+2b+2c+3}{a+b+c+\frac{3}{2}}=2$$ Debe haber una forma más bonita de mostrar esto, teniendo en cuenta la simetría agradable en el problema, pero no puedo ver que ahora.