Cómo integrar sin trigonométricas sustitución

Question

Necesito integrar la ecuación siguiente sin utilizar trigonométricas sustitución (que no hemos aprendido todavía, pero me han dicho que sería la forma normal para integrar la misma).

$\int_0^2 (y+8)\sqrt {-y^2+4y}$ $dx$

Sé que la respuesta a esto es $ 10\pi−\frac{8}{3} $ pero no sé cómo demostrarlo.

Sé que es muy útil que la integral de $\sqrt {-y^2+4y}$ es solo un cuarto de] el área de un círculo con un radio de 2 pero menos que puedo aislar el radical de (y+8) no puedo usar este hecho. Los pensamientos?

Answer 1

Sugerencia:

$$(y+8)\sqrt{-y^2+4y}$$

$$=(-\frac{1}{2}(-2y)+8)\sqrt{-y^2+4y}$$

$$=(-\frac{1}{2}(-2y+4)+10) \sqrt{-y^2+4y}$$

$$=-\frac{1}{2}(-2y+4)\sqrt{-y^2+4y}+10 \sqrt{-y^2+4y}$$

$\int_{0}^{2} \sqrt{-y^2+4y} \, dy$ representa un cuarto del área de un círculo de radio $2$.

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

El Uso De Euler Sustitución De$\ds{y = {\ic t^{2} \over 2\pars{t + 2\ic}}}$ con $\ds{t = \root{-y^{2} + 4y} - y\ic}$. Usted obtendrá

\begin{align} &\int_{0}^{2}\pars{y + 8}\root{-y^{2} + 4y}\,\dd y \\[5mm] = &\ \int_{0}^{2 - 2\ic}\bracks{-5 + 2\ic t - {t^{2} \over 8} + {8 \over \pars{t + 2\ic}^{4}} + {40\ic \over \pars{t + 2\ic}^{3}} + {2 \over \pars{t + 2\ic}^{2}} + {20\ic \over t + 2\ic}}\,\dd t \end{align} lo que implica sencillo integraciones. La respuesta es $\bbx{\ds{10\pi - {8 \over 3}}}$.

Answer 3

Express $y+8$como un diferencial de $-y^2+4y$ y algunas constantes.A continuación, tome $-y^2+4y$ $t$ y continuar.a lo que me refería era escribir $y+8=a(\frac{d}{dx} [-y^2+4]+b$.Luego de resolver para a y b, y poner en la integral.