Cómo mostrar $\int_{[0, +\infty)} \frac{2}{1+x^2} dx$ Lebesgue integrable?

Question

Definición de la integral de Lebesgue de funciones simples: Decimos que una función simple $\psi$ es Lebesgue integrable si el conjunto $\{\psi \ne 0\}$ tiene medida finita. En este caso, podemos escribir el estándar de representación de $\psi$ $\psi = \sum_{i=0}^n a_i \chi_{A_i}$ donde $a_0 = 0, a_1, \ldots , a_n$ son distintos los números reales, donde $A_0 = \{\psi = 0\}, A_1, \ldots , A_n$ son disjuntos a pares y medibles, y donde sólo se $A_0$ tiene medida infinita, una Vez $\psi$ está escrito, es evidente que existe una definición para $\int \psi$, es decir,, $$\int \psi = \int_{\mathbb R} \psi = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x) \, dx = \sum_{i=1}^n a_i m(A_i).$$ In other words, by adopting the convention that $0 \ cdot \infty = 0$, we define the Lebesgue integral of $\psi$ by $$\int \sum_{i=0}^n a_i \chi_{A_i} = \sum_{i=0}^n a_i m(A_i).$$ Please note that $a_im(A_i)$ is a product of real numbers for $i \ne 0$, and it is $0 \cdot \infty = 0$ for $i = 0$; that is, $\int \psi$ es un finito número real.

Definición de Lebesgue integrable de la no-negativo de la función: Si $f: \mathbb R \to [0, +\infty]$ es medible, podemos definir la integral de Lebesgue de $f$$\mathbb R$$\int f = \sup \left\{\int \psi: 0 \le \psi \le f, \psi\text{ simple function and integrable }\right\}$.

Cómo demostrar a $\int_{[0, +\infty)} \frac{2}{1+x^2} \, dx$ Lebesgue integrable?

Además, hay alguna relación entre la Lebesgue integrable y Riemann integrable? Me refiero a que no Riemann integrable implica Lebesgue integrable?

Answer 1

Sugerencia.

Cortar la imagen de $f(x)=\frac{2}{1+x^2}$, es decir, $(0,+\infty$ en porciones iguales de grosor $\frac{1}{n}$. Calcular la imagen inversa de cada rebanada que es para cada una unión de un par de intervalos disjuntos.

Tomar la medida de cada inversa rodajas y hacer el Lebesgue suma. Luego de demostrar que esta es la $\sup$ de todos los $\{\psi \le f, \psi\text{ simple function and integrable }\}$

Answer 2

Adecuada de integrabilidad de Riemann en un intervalo acotado implica Lebesgue integrabilidad en dicho intervalo, y las integrales son iguales. Por "adecuada", me refiero a que uno no necesita evaluar los límites como los límites de la integración del enfoque de nada. Así $$ \int_{[0,b]} \frac 2 {1+x^2} \, dx \tag 1 $$ como una integral de Lebesgue es la misma que la de Riemann integral sobre el intervalo.

Observe que todos los no-negativo medibles función simple que es $\le$ esta función en $[0,\infty)$ está acotada arriba por $$ \begin{cases} \dfrac 2 {1+x^2} & \text{for }0\le x\le b, \\[8pt] 0 & \text{for }x>b \end{casos} $$ para un cierto valor de $b$. Así, el supremum de $(1)$ sobre todos los valores de $b$ $\ge$ el supremum de el conjunto de todas las integrales de tales funciones simples. Pero el supremum de $(1)$ sobre todos los valores de $b$ es finito.