Pregunta sobre los puntos cíclicos en los ejes de coordenadas

Question

Si los puntos donde las líneas $3x-2y-12=0$ y $x+ky+3=0$ intersecan ambos ejes de coordenadas son cíclicos,entonces el número de posibles valores reales de k es
(A)1 $\hspace{2cm}$ (B)2 $\hspace{2cm}$ (C)3 $\hspace{2cm}$ (D)4

Mi intento:He utilizado el teorema de Ptolomeo $AC\times BD=AB\times CD+BC\times AD$ pero los cálculos y las simplificaciones son muy engorrosos y torpes. ¿Existe alguna forma elegante de resolver este problema?

Answer 1

Tomemos dos líneas rectas $$a_1x+b_1y=1$$ y $$a_2x+b_2y=1$$ que intersecan los ejes de coordenadas en cuatro puntos que son cíclicos. Sea la circunferencia que pasa por estos cuatro puntos $$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$$ . Ahora bien, como corta el eje X en $\left(\frac{1}{a_1},0\right)$ y $\left(\frac{1}{a_2},0\right)$ es evidente que $\frac{1}{a_1}$ y $\frac{1}{a_2}$ son raíces de $$x^2+2gx+c=0$$ Entonces el producto de las raíces es $$\frac{1}{a_1a_2}=c$$ . Del mismo modo $\frac{1}{b_1}$ y $\frac{1}{b_2}$ son raíces de $$y^2+2fy+c=0$$ con producto de las raíces como de nuevo

$$\frac{1}{b_1b_2}=c$$

Por lo tanto, si dos rectas $$a_1x+b_1y=1$$ y $$a_2x+b_2y=1$$ intersecan los ejes de coordenadas en cuatro puntos que son cíclicos, entonces

$$a_1a_2=b_1b_2$$

Answer 2

Las formas intercepto-intercepto de las rectas son las siguientes: $$\begin{align} \frac{x}{4} + \frac{y}{-6} &= 1 \qquad\to\qquad \cases{ x\text{-intercept: }\;\phantom{-}4 \\ y\text{-intercept: }\;-6}\\[6pt] \frac{x}{-3} + \frac{y}{-3/k} &= 1 \qquad\to\qquad\cases{ x\text{-intercept: } \;-3 \\ y\text{-intercept: }\;-3/k } \end{align}$$

Por lo tanto, tenemos esta situación, con $\overleftrightarrow{AB}$ siendo la primera línea, y $C$ siendo un punto de la segunda línea:

Tenga en cuenta que la pregunta pide el número de valores de $k$ que resuelven el problema; es decir, el número de puntos del $y$ -que son cíclicos con $A$ , $B$ , $C$ . Claramente,

Puntos $D$ y $B$ satisfacen la descripción, por lo que la respuesta es $2$ .

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Aunque en realidad no necesitamos determinar los valores asociados de $k$ es bastante fácil de hacer.

• Para el punto de solución $B$ El $y$ -intercepto es $-6$ así, $-3/k = -6$ de modo que $k = 1/2$ .

• Para el punto de solución $D$ calculamos el potencia del punto de origen con respecto al círculo de dos maneras, y ponerlos iguales: $$\begin{align} |\overline{OA}|\;|\overline{O C}| &= |\overline{OB}|\;|\overline{OD}| \\ 4\cdot 3 &= 6 \cdot |\overline{OD}| \\ 2 &= |\overline{OD}| \end{align}$$ Desde $D$ está a una distancia $2$ desde el origen, y tiene un $y$ -tenemos $-3/k = 2$ de modo que $k = -3/2$ .

Answer 3

pista que podría ser un poco más fácil

Sean A y B los $x-y$ interceptos de la recta $3x-2y=12$ y C,D los de la línea $x+ky=-3$ . A continuación, utilizando las pendientes, calcula la tangente de los ángulos ACB y ADB y utiliza el hecho de que si estos ángulos son iguales, entonces los puntos son cíclicos.

Answer 4

En $L_{(1)}$ , obtenga $\alpha$ .

$\beta$ se conoce entonces.

$\beta = \gamma$ (por ángulos en el mismo segmento)

$\gamma$ es el ángulo de inclinación de la línea requerida.

Por lo tanto $k$ se pueden encontrar.

Tenga en cuenta que P, Q y R son fijos. A través de 3 puntos fijos (en tres secciones diferentes de los ejes de coordenadas), sólo se puede trazar una circunferencia. Si S (también en un eje) es el 4º punto cíclico, otras variantes --- M (variando k para obtener la línea punteada roja, por ejemplo) o N (por la línea punteada verde), nunca pueden ser el cuarto posible.

Sin embargo, otro posible candidato es cuando S es precisamente Q, un caso degenerado.