Mi pregunta viene de mi profesor. Hago todo lo posible por entender el significado de la pregunta, pero no lo consigo. Ni siquiera puedo entender el significado de la pregunta. Creo que necesito algunas pistas para responder a la pregunta.
Podemos encontrar la definición de superficie de Hirzebruch en [Fulton " Introducción variedades tóricas" página 8].
Que introducen la construcción de la superficie de Hirzebruch $ \mathbb{F}_a $ con $ a \in \mathbb{N}$ . Y lo sabemos, de hecho, $ \mathbb{F}_a $ es un haz proyectivo $ \pi: \mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(a) \bigoplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}) \to \mathbb{P}^1$ .
Consideremos ahora el caso de $a = 1. \ i.e. \ \mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1) \bigoplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})$ .
En [Fulton], construimos $ \mathbb{F}_1 $ desde el punto de vista de la variedad tórica.
Mi pregunta principal:
Pero si sólo consideramos $ \mathbb{F}_1$ $\cong$ $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1) \bigoplus$ $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})$ como un esquema, ¿cómo escribo todo piezas abiertas afines y las identificaciones entre dos piezas abiertas afines cualesquiera que sea "compatible" con la construcción tórica )
¿Qué significa "compatible"? No tengo ningún sentido sobre esta importante palabra clave.
Sigo la definición de $\mathbb{P} (\mathcal{E})$ en [Hartshorne]:
Dejemos que $\mathcal{E} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1) \bigoplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$ sea una gavilla localmente libre en $\mathbb{P}^1$ Recordemos que en $\mathbb{P}^1$ hay dos subconjuntos abiertos afines estándar $D_{+}(x_0) \cong Spec \ \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}$ y $D_{+}(x_1) \cong Spec\ \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_1)}$
Así que tenemos $\mathcal{E} | _ {D_{+}(x_0)}$ = $(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1) \bigoplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})|_{D_{+}(x_0)}$ $\cong$ $\widetilde{S(1)_{(x_0)}}\bigoplus \widetilde{S_{(x_0)}}$ , donde $S = \mathbb{C}[x_0,x_1]$ .
Tenemos $\mathcal{E} | _ {D_{+}(x_0)}( D_{+}(x_0)) = x_0 \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)} \bigoplus \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}$
Dejemos que $ M := x_0 \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)} \bigoplus \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}$ entonces $ M $ es un programa gratuito $\mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}-module$ de rango 2.
Consideremos el álgebra simétrica de $M$ , $Sym(M) \cong \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}[y_0,y_1] $ que es claramente un anillo graduado sobre $\mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}$ . Por lo tanto, podemos considerar el esquema proyectivo $Proj(\mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}[y_0,y_1])$ .
$\implies $ $Proj(\mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}[y_0,y_1])$
$ \ \ \ \cong Spec\ \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}\ \times_{Spec\ \mathbb{C}} Proj(\mathbb{C}[ y_0,y_1])$
$ \\\\\\\\\\\\\\\ \ \ = Spec\ \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}\ \times Proj(\mathbb{C}[ y_0,y_1]) $
$ \\\\\\\\\\\\\\\ \ \ = Spec\ \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}\ \times \mathbb{P}^1$
Así, también tenemos cuatro piezas abiertas afines del esquema de $\mathbb{P} (\mathcal{E})$ .
Ahora, necesitamos pegar tales cuatro piezas afines "compatibles" con la estructura en [Fulton,página8] (el significado de "compatible" realmente me confunde). Recordemos que
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$D_{+}(x_0) \bigcap D_{+}(x_1)$ $\cong D_{+}(x_0x_1)$ $\cong Spec \ \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0x_1)}$
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$ Spec\ \mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)}\ \times_{Spec\ \mathbb{C}} D_{+}(y_0) $ $\cong$ $ Spec\ (\mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0)} \bigotimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[y_0,y_1]_{(y_0)})$
¿Qué debo hacer? ¿Debo construir isomorfismos de anillos entre anillos?
Por ejemplo, un isomorfismo $\mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0x_1)}$ $\cong$ $\mathbb{C}[x_0,x_1]_{(x_0x_1)}$ Obviamente, podemos encontrar un isomorfismo trivial, pero ¿es dicho isomorfismo el que satisface el requisito de "compatibilidad"?
¡¡¡Muchas gracias!!!
